\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Afrique juin 1993},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Afrique}
\lfoot{\small juin 1993}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Afrique juin 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire sous la forme de fraction la plus simple possible (fraction irréductible) chacun des nombres $A$ et $B$ suivants :

\[A = - 1 - \dfrac23\:; \qquad  B = \dfrac{13}{6}  + \dfrac23  \times \dfrac74.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
On considère l'équation: $3x^2 - 7x - 6 = 0$. 

\begin{enumerate}
\item 0 est-il solution ? Justifier.
\item 3 est-il solution ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression : $(x + 3)^2 - (2x + 1)^2$.
\item Résoudre l'équation: $(3x + 4)(-x + 2) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Sans utiliser la calculatrice, prouver que $\sqrt{12} + \sqrt 8$ est le double de $\sqrt 3 + \sqrt 2$.

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Pierre s'est acheté 5 disques compacts, tous au même prix, et 3 cassettes, également toutes au même prix. 

Il a payé en tout $830$~F{}.

Un disque coûte 30 F de plus qu'une cassette.

Calculer le prix d'un disque et le prix d'une cassette.

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Les longueurs sont en centimètres.

ABCDEFGH est un cube dont l'arête mesure $3\sqrt 3$.

Sur l'arête [AB] on place le point S tel que BS $= 3$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.4,6.4)
\psframe(0.7,0.7)(4.7,4.7)
\psline(4.7,0.7)(6.8,2)(6.8,6)(4.7,4.7)%CGHD
\psline(6.8,6)(2.8,6)(0.7,4.7)%HEA
\psline(0.7,2.6)(4.7,0.7)%SC
\psline[linestyle=dashed](2.8,6)(2.8,2)(0.7,2.6)(6.8,2)%EFSG
\psline[linestyle=dashed](0.7,0.7)(2.8,2)(6.8,2)%BFG
\uput[l](0.7,4.7){A} \uput[dl](0.7,0.7){B} \uput[dr](4.7,0.7){C}
\uput[ul](4.7,4.7){D} \uput[u](2.8,6){E} \uput[dr](2.8,2){F}
\uput[r](6.8,2){G} \uput[ur](6.8,6){H} \uput[ul](0.7,2.6){S}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.7,0.5)(4.7,0.5) \uput[d](2.7,0.5){$3\sqrt 3$}%BC
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.7)(0.5,2.6)\uput[l](0.5,1.65){3}%BS
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCS}}$.
\item Calculer le volume de la pyramide ayant pour base le carré BCGF et pour hauteur [BS].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur la figure, les mesures des longueurs et des angles ne sont pa respectées.

%fig

Les droites (BH) et (DE) sont parallèles et les droites (BH) et (HE) ont perpendiculaires.

CE $= 10$~cm, $\widehat{\text{ECH}} = 42\degres$ et $\widehat{\text{BDE}} = 75\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la longueur, arrondie au millimètre, du segment [EH]
est $6,7$~cm.
\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité choisie est le centimètre.

Tracer les droites $D_1,\: D_2,\: D_3$ définies ci-dessous, puis donner sans justification une équation de chaque droite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $D_1$ est la droite dont le coefficient directeur est 2 et qui passe par le point $(0~;~-3)$.
\item $D_2$ est la droite perpendiculaire à la droite $D_1$ qui passe par l'origine du repère.
\item $D_3$ est la droite parallèle à la droite $D_1$ qui passe par le point (0~;~2,5).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Pour cette partie, utiliser et compléter la figure jointe qu'on rendra avec la copie.
Les longueurs sont en centimètres.

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB $= 9$ et AC $= 4$. 

M est le milieu du segment [BC]. Les points D et E appartiennent au segment [AB] et sont tels que AD = DE = EB. 

Les points M et M$'$ sont symétriques par rapport au point C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\dfrac{\text{BD}}{\text{BA}} = \dfrac23$.
		\item Exprimer BC et BM$'$ en fonction de BM. 

En déduire que $\dfrac{\text{BC}}{\text{BM}'} = \dfrac23$.
		\item En déduire que les droites (CD) et (AM$'$) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que la longueur du segment [CD] est 5. En déduire la longueur du segment [AM'].
\item  Les segments [AM] et [CD] se coupent en I. 

En considérant le triangle AMM$'$ , démontrer que I est le milieu du segment [AM].

En déduire que la droite (MG) coupe le segment [AM'] en son milieu I.
\item Les segments [M$'$I] et [AC] se coupent en G.

Que représente le point G pour le triangle AMM' ? Justifier.
\item Placer le point N tel que $\vect{\text{MN}} = \vect{\text{MA}} + \vect{\text{MM}'}$. 

Démontrer que J est le milieu de [MN].
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.5,4.1)
%\psgrid
\psline(0,0.2)(10.3,0.2)%BM'
\psline(0.5,0.2)(2.9,3.4)(7.1,0.2)%BAC
\uput[u](2.9,3.4){A} \uput[d](0.5,0.2){B} \uput[d](7.1,0.2){C} 
\uput[ul](2.1,2.3){D}\uput[ul](1.3,1.24){E} \uput[d](3.7,0.2){M} \uput[d](10.3,0.2){M$'$}
\psdots(1.3,1.24)(2.1,2.3)(3.7,0.2)(10.3,0.2)
\rput{-133}(2.9,3.4){\psframe(0.2,0.2)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}