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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Afrique 1}
\lfoot{\small juin 1996}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Afrique 1\footnote{Bénin, Burundi, Cameroun, Mauritanie, République centrafricaine} juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate} \item Mettre sous la forme la plus simple le nombre
$\dfrac{4}{5}\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{30}$.
\item Mettre sous la forme $a\sqrt5$ avec $a$ entier le nombre
$\sqrt{45}-\sqrt5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre chacune des équations suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{x-3}{5} = \dfrac{7}{2}$
\item $(x + 2)(x - 11) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne les nombres 

\begin{center}$A = 2\sqrt5 + 3$ et $B = 2\sqrt5 - 3$.\end{center}

\par 

Calculer le carré $A^2$ en donnant le résultat sous la forme $a\sqrt5 + b$, avec $a$
et $b$ entiers, puis calculer le produit $A \times B$ en donnant le
résultat sous la forme d'un nombre entier.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Deux frères, Marc et Jean, possèdent chacun un jardin. 

L'aire du jardin de Marc est les $\dfrac34$ de l'aire du jardin de Jean. 

Les deux frères possèdent en tout \np{1470} m$^2$.
\par 

Quelles sont les aires des jardins de Marc et de Jean ?

\begin{enumerate}
\item 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La liste suivante contient les équations de dix droites :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$y=\dfrac{1}{2}x+4$&$y= \dfrac{1}{2}x- 4$&$y =- \dfrac{1}{2}x + 4$&$y= - \dfrac{1}{2}x - 4$\\
$y= x + 4$&$y = x- 4$&$y = 2x + 4$ &$y = 2x - 4$\\
$y = -2x + 4$ &&$y= - 2x - 4$&\\
\end{tabularx}

\par

On a choisi quatre équations dans cette liste, puis on a
représenté les droites correspondantes dans le repère orthonormal
(O, I, J).

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture*}(-9,-8)(10,9)
%\psgrid
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-9,-8)(10,9)
\uput[d](9.7,0){$x$}\uput[l](0,8.7){$y$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-9}{10}{x 4 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-9}{10}{x 4 sub}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-9}{10}{4 0.5 x mul sub}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-9}{10}{4 2 x mul add neg}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J}
\uput[dr](-2.5,-6.5,0){$D_1$} \uput[dr](-9,-5){$D_2$} \uput[dr](-6.3,9.2){$D_3$} \uput[dr](-8.5,8){$D_4$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier le tableau suivant, puis le compléter en retrouvant les
équations correspondantes dans la liste.

\begin{center}
\begin{tabularx}{12cm}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nom de la droite		&$(d_1)$&$(d_2)$&$(d_3)$&$(d_4)$\\ \hline
Équation de la droite	&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item En choisissant dans la liste donnée, citer les équations de deux
droites parallèles, puis celles de deux droites perpendiculaires.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Construire un triangle équilatéral ABC de $5$ cm de côté, puis
placer sur la figure les points M et N tels que $\vect{\text{CM}} = \vect{\text{CA}}+\vect{\text{CB}}$ et $\vect{\text{BN}} =\vect{\text{AC}}$.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

On considère un triangle ABC isocèle en A tel que le côté [AB]
mesure $7,5$~cm et le côté [BC] mesure $12$~cm.

Soit M le milieu du segment [BC] et soit N le projeté orthogonal\footnote{Autrement
dit, les droites (BN) et (AC) sont perpendiculaires.} du point B
sur la droite (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur.
\item Que représente la droite (BN) pour le triangle ABC ? Pourquoi ?
\item Soit $(\mathcal C)$ le cercle circonscrit au triangle ABN. On
désigne par O le centre de ce cercle $(\mathcal C)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle AMB est rectangle en M.
		\item Démontrer que O est le milieu du segment [AB].
		\item Démontrer que le point M est sur le cercle $(\mathcal C)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\cos\widehat{\text{NCB}}$ dans le triangle CNB rectangle en
$N$.
		\item Calculer $\cos\widehat{\text{ACM}}$ dans le triangle CAM rectangle en
$M$.
		\item Déduire des deux questions précédentes que la longueur CN est
$9,$\,cm.
		\item Calculer la longueur BN.
		\item Donner une valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{ACM}}$ à un
degré près.
	\end{enumerate}
\item Soit P le symétrique du point N par rapport au point O.

Placer le point P et démontrer que le quadrilatère ANBP est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{document}