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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Afrique}
\lfoot{\small juin 1998}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Afrique juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

$A = \dfrac49 - \dfrac59\left(1 - \dfrac{3}{10}\right)$

Écrire $A$ sous forme fractionnaire la plus simple possible.

\smallskip

$B = 2\sqrt{32}-  \sqrt{18} + \sqrt{8}$

Écrire $B$ sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers.

\smallskip

$C = (1 - 3x)^2$

Développer $C$.

\smallskip

$D = (3 x - 5)^2 - 9$

Factoriser $D$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

En France, la consommation annuelle de dentifrice est $17$ millions de litres. Sachant que la population de la France est $58$~millions d'habitants, quel est le nombre de tubes de $75$~ml qu'utilise en moyenne chaque Français par an ? 

On écrira les calculs et on donnera le résultat arrondi à l'unité.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c r}
14x + 5y &=& 215\\
\phantom{1}2x+\phantom{5}y&=&33
\end{array}\right.$

\item À l'occasion de son anniversaire, Tom veut acheter des gâteaux et des boissons. Il dispose d'un billet de $200$ F{}.

Pour acheter $14$ gâteaux et $5$ boissons, il lui manque $15$ F{}.

S'il achète $12$ gâteaux et $6$ boissons, il lui reste $2$ F{}.

Quel est le prix d'un gâteau et le prix d'une boisson ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=5mm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture*}(-10,-9)(10,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-10,-9)(10,9)
\uput[u](9.5,0){$x$} \uput[r](0,8.5){$y$}\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-7}{7}{3 x sub}\uput[ur](-5,8){$D_1$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-7}{7}{3 x add}\uput[dr](5,8){$D_2$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-7}{7}{x 3 div neg}\uput[ur](-6,2){$D_3$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-7}{7}{x 3 div 3 add neg}\uput[dl](6,-5){$D_4$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les équations de droites suivantes, retrouver celles des quatre droites données. (On ne demande pas de justification.)

\[\begin{array}{l l l l}
y = - \dfrac13 x& y = 3 x& y = - x - 3& y = - \dfrac13 x - 3\\
y = - x + 3 &y= x + 3& y = 3x + 3& y = \dfrac13x - 3
\end{array}\]

\item Citer deux droites perpendiculaires. Justifier.
\item Citer deux droites parallèles. Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit ABC un triangle tel que : AB = 4,5 cm BC = 7,5 cm AC = 6 cm 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un tel triangle.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Calculer à un degré près l'angle ABC .
\item M est le point du segment [AB] tel que AM = 1,5 cm, et N est le point du segment [AC] tel que NC = 4 cm.

Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pour cet exercice, les tracés demandés seront faits sur la figure ci-après.

Construire les images de la figure F :

\begin{enumerate}
\item Par la translation du vecteur $\vect{\text{AB}}$ ; écrire F$_1$ à l'intérieur de la figure obtenue.
\item Par la symétrie par rapport à la droite $D$ ; écrire F$_2$ à l'intérieur de la figure obtenue.
\item Par la rotation de centre O, d'angle $60\degres$ (dans le sens inverse des aiguilles d’une montre) ; écrire F$_3$ à l'intérieur de la figure obtenue
\end{enumerate}

Les figures sont dessinées dans un réseau formé de triangles équilatéraux.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(18,12)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.57,3.44)(9.54,5.2)(9.03,6.1)(8.53,5.2)(7.6,5.2)(7.13,6.04)(6.65,5.2)(7.64,3.44)
\multido{\n=-32.909+1.732,\na=1.732+1.732}{32}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(19,\na)}
\multido{\n=0+1.732,\na=-34.640+1.732}{32}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(19,\na)}
\multido{\n=0.000000+0.866025}{16}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(20,\n)}
\psdots(3.8,10.3923)(10.93,11.2583)(10.92,2.6)%ABO
\psline[linewidth=1.25pt](16,11.8)(9.5,0)
\uput[l](3.8,10.3923){A} \uput[u](10.93,11.2583){B} \uput[ul](10.92,2.6){O} \uput[r](15.6,11.24){$D$}
\rput(8,4.37){F}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
En météorologie, on utilise souvent des ballons-sondes.

Comme la pression atmosphérique diminue avec l'altitude, le ballon se dilate en prenant de la hauteur et ses dimensions augmentent.

Le ballon que l'on considère dans ce problème a la forme d'un cône surmonté d'une demi-sphère. Les dimensions données sur le dessin sont celles du ballon au sol sur le lieu du lâcher, situé au niveau de la mer.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.4,-4.2)(3.6,1.5)
\psarc(0,0){1.4}{0}{180}
\psellipticarc(0,0)(1.4,0.3){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.4,0.3){0}{180}
\psline(-1.4,0)(0,-4.2)(1.4,0)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.6,0)(1.6,1.4)\uput[r](1.6,0.7){$R = 40$~cm}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.6,0)(1.6,-4.2)\uput[r](1.6,-2.1){$h = 120$~cm}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume en cm$^3$ du ballon-sonde au sol.

En déduire le volume en litres de gaz qu'il contient (arrondir au litre près).

Rappel : Volume d'un cône :  $\dfrac13 \pi R^2h$

\phantom{Rappel :}Volume d'une Sphère:  $\dfrac43 \pi R^3$

\item On lâche le ballon. Il s’élève à une vitesse constante de $5$~m/s. En combien de temps le ballon atteint-il l'altitude de \np{4000} m?
(Donner les résultats en minutes et secondes.)
\item Entre le sol et \np{4000}~m d'altitude, les dimensions (c'est-à-dire les longueurs) augmentent de 26%.
	\begin{enumerate}
		\item Par quel nombre les longueurs initiales sont-elles multipliées ?
		\item En déduire le nombre par lequel le volume initial est multiplié. Puis calculer le nouveau volume du ballon à l'altitude de \np{4000} m.
	\end{enumerate}
\item Parmi les données communiquées par le ballon, on note les températures suivantes : 13,5 degrés au sol et $-10,5 $ degrés à \np{4000}~m d'altitude.
On admet que la température $y$, exprimée en degrés Celsius, est fonction affine de l'altitude $x$, exprimée en mètres.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $y$ en fonction de $x$ .
		\item Résoudre l'inéquation $- 0,006 x + 13,5 \leqslant - 12$.
		\item En déduire l'altitude à partir de laquelle la température est inférieure à $- 12$ degrés Celsius.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}