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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Aix-Marseille}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Aix-Marseille juin 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\bigskip

{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \label{droite}  Simplifier la fraction
\[\dfrac{(12x - 48) (x + 2)}{4x^2 -16} \]
Pour quelle valeur de $x$ cette fraction est-elle égale
à 1 ?
\item Construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ définies respectivement
par 
\begin{center}$y = 3x - 12$ \qquad et \qquad $y = x - 2$.\end{center}
\begin{enumerate}
\item Trouver les coordonnées du point d'intersection,
M, des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

 La question 1. pouvait-elle permettre de prévoir ce résultat?
\item Par le point A de coordonnées (4~;~0), on mène
la perpendiculaire $\left(D_3\right)$ à $\left(D_2\right)$. Former l'équation de $\left(D_3\right)$.

Trouver les coordonnées du point d'intersection, H,
de ($D_2$) et ($D_3$).
\item Calculer les longueurs AH et AM.

En utilisant les résultats obtenus, donner la valeur du sinus de l'angle
aigu formé par les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère le demi-cercle ($C$)de centre O, de
diamètre [AB] tel que  AB $= 2R$ et le point I, milieu de [OB].

La demi-droite [IX) faisant avec (IB) un angle $\widehat{\text{BIX}} = 60\degres$ coupe
en M le demi-cercle de centre I de rayon $\dfrac{R}{2}$ situé du même
côté que (C) par rapport à (AB) et en P la tangente en B
à (C).

La demi-droite [BM) coupe (C) en Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les angles $\widehat{\text{OBM}}$ et $\widehat{\text{BOM}}$.
\item Montrer que le triangle BIQ est rectangle en I.
\item Montrer que les triangles OBM et BIP sont égaux.
\item Calculer BM, OM, BQ, AQ, IP et IQ.
\item Montrer que le quadrilatère OIPQ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\end{document}