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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1987}
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\lfoot{\small juin 1987}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-Marseille juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir des encadrements suivants :

\[3,16 < \sqrt{10} < 3,17 \quad \text{et}\quad  1,41 < \sqrt 2 < 1,42\]

encadrer $\dfrac{\sqrt 2 + \sqrt{10}}{4}$ (on justifiera avec soin les opérations
effectuées).
\item On donne $B = \dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 5 - 1}$.

En déduire un encadrement de $B$ par deux  décimaux $a$ et $b$ tels
que $a < B < b$ et $0 < b - a < 0,01$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'application : $\R \longmapsto \R$ définie par

\[f(x)= (4x - 6)(x + 5) - (3- 2x)(x - 1) + 4x^2 - 9.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et $f\left(\dfrac32\right)$.
\item Mettre $f(x)$ sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré et résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\item Développer $f(x)$ et résoudre dans $\R$ l'équation 

\[f(x) = - 36.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

Considérons dans le plan P le cercle de centre O et de
rayon $R = 3$~cm et un point M tel que OM $= 7$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient MA et MB les tangentes au cercle C passant
par M.
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure soignée en prenant pour P le plan de la feuille.
		\item Que représente la droite (OM) pour la figure ainsi construite.
		
Quelle est la nature des triangles MAO et MBO ? Justifiez vos réponses.
		\item Calculer les distances MA et MB (on les exprimera en cm).
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite orthogonale au plan P qui passe par O. 

N est un point quelconque du cercle C de centre O.
	\begin{enumerate}
		\item Faire une deuxième figure en perspective en prenant pour P un plan quelconque.
		\item  Que peut-on dire des droites $\Delta$ et (ON) ?
		\item Soit P un point de $\Delta$ tel que OP $= 6$~cm. Calculer la
distance PN.
		\item Le point N décrit le cercle C tandis que P reste fixe. 
		
Quel solide engendre le segment [PN] ?

Calculer le volume V de ce solide (on rappelle que $V = \dfrac13 B\times h$ ; $B$ étant l'aire de la base et $h$ la mesure de la hauteur).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Dans un plan euclidien rapporté au repère orthonormé \Oij, on donne les points 

\[\text{A}(-2~;~5), \text{B}(-1~;~1), \text{D}(2~;~4).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure soignée et complète.
\item Déterminer les coordonnées du point C$(x~;~y)$ pour que ABCD soit un parallélogramme.
\item Déterminer les coordonnées du point I, centre de symétrie de ce parallélogramme.
\item Calculer les distances AB et AD. 

En déduire la nature exacte du parallélogramme ABCD.
\item Écrire une équation cartésienne de la droite (AD).
\item Écrire une équation cartésienne de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale à (AD) passant par B.

\item Résoudre dans $\R$  le système 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + 4y - 18&=&0\\
4x - y + 5 &=&0
\end{array}\right.\]

En déduire les coordonnées du point E d'intersection des
droites $\mathcal{D}$ et (AD).
\end{enumerate}
\end{document}