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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Aix-en-Provence}
\lfoot{\small juin 1980}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-en-Provence juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ telle que
\[f(x) = (1 - 4x)\left(\dfrac32 x - 1\right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Calculer $f\left(\sqrt 3\right)$.

En déterminer la valeur approchée par défaut à $10^{-4}$ près.

On donne $\np{1,73205} < \sqrt 3< \np{1,73206}$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation 
\[- 12x^2 + 11x - 2 = 0.\]

\item Factoriser
\[-\dfrac{15}{4}x^2 + \dfrac{11}{2}x - 2.\]

On pourra utiliser le \textbf{1.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x$ et $y$ désignent deux réels. Résoudre le
système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
4x - y - 2&=&0\\
\phantom{4}x + y - 3&=&0
\end{array}\right.\]

\item Soit un repère \Oij{} de votre choix.

Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de chaque équation.

Retrouver graphiquement le résultat de la première question.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij. On considère les points 

\begin{center}A(3~;~5),\qquad  I(4~;~1)\quad  et \quad B(8~;~2).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des points A$'$ et B$'$ symétriques respectivement de A et de B par rapport à I.
\item On donne le point C$(5~;~-3)$. 

Calculer $d$(A, B) et $d$(B, C). Calculer $d$(O, B) et $d$(A, C).
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$ sont orthogonaux.

Montrer que les vecteurs $\vect{\text{OB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux.
\item Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, C, O) ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On appelle M le milieu de (A, B).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de M.
\item Soit E(7~;~6). Comparer les directions des droites (OA) et (ME).

Le point I appartient-il à la droite (EM) ?

Justifier la réponse.
\item Écrire une équation de la droite (AB).
\end{enumerate}
\end{document}