\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Aix-en-Provence septembre 1979},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Aix-en-Provence}
\lfoot{\small septembre 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-en-Provence septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un nombre réel. Montrer que 

\[x^2 - x = \left(x -\dfrac12\right)^2 - \dfrac14\]

et en déduire que
\[x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2).\]
\item Soit $f$ la fonction polynôme définie, pour tout $x$ réel, par
\[f(x) =3x^3 - 2x^2 - 7x - 2.\]

Montrer que
\[f(x) = \left(x^2 - x - 2\right)(3x + 1).\]

Factoriser $f(x)$ et résoudre, dans $\R$, l'équation
\[f(x) = 0.\]

\item Calculer les images par $f$ des réels

\[2\quad ;\quad 1\quad ;\quad \dfrac13\quad \text{et } \quad \sqrt 3\].

Donner un encadrement de $f\left(\sqrt 3\right)$ à 0,1 près sachant que 
$1,732 < \sqrt 3 < 1,733$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on donne les points 
\begin{center}A$(-4~;~ 1)$\qquad  et \qquad B$(1~;~-2)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite (AB). 
\item Construire la droite $(\Delta)$ dont une équation est
\[5x - 3y + 6 = 0.\]
\item Démontrer que la droite $(\Delta)$ est la médiatrice du
segment [AB].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un plan euclidien, on considère un carré (A, B, C, D) tel que $d$(A, B) $= 5$.

Faire la figure en vraie grandeur (unité de distance : 1 cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point M tel que $\vect{\text{AM}} = 3\vect{\text{BC}}$.
\item Calculer $d$(A, C), $d$(D, M) et $d$(C, M).
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire en degrés de l'angle
géométrique $\widehat{\text{DCM}}$. 

Calculer $\sin \alpha$.

Sachant que $2,236 < \sqrt 5 < 2,237$, déterminer un encadrement à $0,001$ près de $\sin \alpha$.

\item À l'aide des tables trigonométriques, déterminer la valeur de $\alpha$ à un degré par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}