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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Aix-en-Provence-- Marseille}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Aix-en-Provence-- Marseille juin 1969}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier l'égalité
\[(x - 3)^2(x + 6) = x^3 - 27x +54.\]

\item Étudier le signe de $x^3 - 27x +54$, suivant le valeurs attribuées à $x$.
\item Calculer la racine carrée de $20,25$.
\item Soit la fraction rationnelle

\[f(x) = \dfrac{(x + 1,5)^2 - 20,25}{x^3 - 27x +54}.\]

Pour quelles valeurs de $x$ n'est-elle pas définie ?

Simplifier $f(x)$ et résoudre l'inéquation $f(x) < - \dfrac13$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Un cercle $(\mathcal{C})$ admet pour diamètre [AB] ; O est le milieu de [AB] ; la droite $x'x$ est la tangente en A au cercle $(\mathcal{C})$ ; la droite $y'y$ est la tangente en B au cercle $(\mathcal{C})$.


Une demi-droite quelconque, [A$z$), recoupe $(\mathcal{C})$ en P et coupe $y'y$ en Q.

On suppose $\widehat{\text{BA}z} < 45\degres$.

Soit M le point de la demi-droite [A$z$) tel que AM = PQ ;
la droite BM coupe $x'x$ en S.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer l'égalité
\begin{center}BQ $\cdot$ AM = AS $\cdot$ QM \end{center}
et la relation
\begin{center}$(\alpha)$ \quad  BQ  $\cdot$  AM = AS  $\cdot$  AP{}.\end{center}
\item Démontrer l'égalité
\begin{center}BQ$^2 =$ QA $\cdot$ QP,\end{center}
 ainsi que les relations
 
\begin{center}($\beta$)\quad  BQ$^2 =$ QA $\cdot$ AM\quad et \quad($\gamma$)\quad AB$^2 =$ AP $\cdot$ AQ.\end{center}
\item Déduire des relations $(\alpha),\: (\beta)$ et $(\gamma)$ la relation
\begin{center}BQ$^3 =$ AB$^2 \cdot $ AS.\end{center}

\item On suppose que OA $= 5$~cm et BQ $= 5\sqrt 2$~cm.

Calculer AS, $\tan \widehat{\text{BOQ}}$ et $\tan \widehat{\text{ASO}}$.

En déduire que
\begin{center}$\tan \widehat{\text{SOQ}} = 1$~droit.\end{center}

Calculer les trois côtés du triangle SOQ et la distance de O à (SQ).

Que peut-on en déduire pour la position de (SQ) par rapport au cercle $(\mathcal{C})$ ?
\end{enumerate}
\end{document}