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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Aix-Marseille}}
\rfoot{\small{juin 1953}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Aix-Marseille juin 1953}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur un même graphique   les droites d'équations
\[\left\{\begin{array}{l r c r}
(1) \qquad&y &=& 2x+3\\
(2) \qquad&x + 2y &=& 16
\end{array},\right.\]
puis calculer les coordonnées de leur point d'intersection A.
\item Ces droites coupent l'axe $y'$O$y$ respectivement aux points E et F, dont on calculera les coordonnées.

On mène par F la droite $D$ parallèle à la droite (1).

Trouver son équation.
\item Par E, on mène la droite $D'$ parallèle à. la droite d'équation (2).

Trouver son équation.
\item Les droites $D$ et $D'$ se coupent en B.

Calculer ses coordonnées.

Les vérifier par lecture sur le graphique.
\item En supposant que l'unité prise sur les axes représente une longueur de  $1$~cm, calculer l'aire du triangle FAE puis celle du quadrilatère AFBE.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

Soit un segment [AB] tel que AB $= 10,5$~cm.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer une construction géométrique du point I
qui divise intérieurement [AB] dans le rapport 
\[\dfrac{\text{IA}}{\text{IB}} = \dfrac34.\]

\item Calculer la longueur des segments [IA] et [IB].
\item On trace le demi-cercle de diamètre [IB], puis on
porte la corde IC $= \dfrac{\text{IB}}{2}$.

On achève ensuite le parallélogramme AICD.

Quel est la nature du quadrilatère ABCD ? 

Calculer la longueur de son côté [BC], la mesure des angles $\widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{A}}$ puis sa hauteur.
\item Soit E le point d'intersection des droites (AD) et
(BC).

Quel est le rapport des aires des triangles BAE et BIC ?
\item On suppose maintenant que, les points A, I, B étant fixes, le point C décrit le demi-cercle de diamètre [IB].

Trouver le lieu géométrique du point E.
\end{enumerate}
\smallskip






\end{document}