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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Aix-Marseille}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Aix-Marseille juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer de deux manière. différentes, en expliquant le calcul,
\[(2x + y - 4)^2 - (x + y - 1)^2\]
\item Résoudre algébriquement le système des deux
équations
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y - 1 &=&0,\\
2x + y - 4&=&0
\end{array}\right.\]

\item Résoudre graphiquement le même système et vérifier les résultats obtenus.
\item La droite d'équation $y = - x + 1$ coupe les axes O$y$ et O$x$ respectivement en A et B et la droite d'équation $y = - 2x + 4$ coupe O$y$ en D et O$x$ en C.

Calculer l'aire du quadrilatère ABCD.

(On prendra comme unité le cm sur chacun des axes.)
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit ABC un triangle isocèle dans lequel la hase [BC] est telle que BC $=160$~mm et la hauteur [AH] telle que AH $=60$~mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des côtés [AB] et [AC].
\item On marque sur [BC] un point D tel que BD $= 35$~mm et, sur [BA], le point E tel que BE $= 56$~mm.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les triangles BAC et BDE sont semblables.
		\item Quel est le rapport de similitude ?
		\item Quelle est la longueur ED ?
		\item Quels sont les angles égaux ?
		\item Démontrer que lc quadrilatère EACD est inscriptible.
	\end{enumerate}
\item Calculer AD dans le triangle ADH.

En déduire que le triangle DAC est rectangle en A.

Indiquer alors le centre du cercle passant par E, A, C, D et calculer EC dans le triangle DEC.
\end{enumerate}
\end{document}