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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix-en-Provence juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression 
\[\dfrac{\left(x^2 + 4x + 4\right) (5 + x)}{\left(25 - x^2\right)(x + 2)}.\]

\item Construire sur un même graphique les droites 
\begin{center}$\left(D_1\right)\quad  y = x + 2,\quad 
\left(D_2\right)\quad y = 5 - x$.\end{center}

On prendra pour  unité le centimètre sur les deux axes.

Calculer les coordonnées du point d'intersection, A, des deux droites.
\item $\left(D_1\right)$ coupe l'axe $y'$O$y$ en B ; $\left(D_2\right)$ coupe l'axe
$x'$O$x$ en C.

Montrer que le triangle BAC est rectangle.

Trouver l'équation de (BC).
\item Soit M le milieu de [BC]. Trouver l'équation de la médiane [AM].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R$.

Une sécante $xy$ coupe le cercle $\mathcal{C}$  en A et C.

Soit [AB] la corde perpendiculaire à $xy$. On trace l'une des tangentes au cercle perpendiculaire à $xy$. Cette droite est tangente au cercle en D ; elle coupe $xy$ en E.

La droite (BD) coupe $xy$ en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle DAB est isocèle.
\item Montrer que D est le milieu de [BF] et E le milieu de [AF].
\item Montrer que le triangle FCB est isocèle.

En conclure que le point F reste à une distance constante du point C lorsque la sécante $xy$ tourne
autour de ce point.
\item Dans le cas où $\widehat{\text{AFB}} = 30\degres$, calculer, en fonction de $R$, l'aire du quadrilatère EDBA.
\end{enumerate}
\end{document}