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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small Aix-Marseille}
\lfoot{\small juin 1957}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-Marseille juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans l'expression 
\[3\sqrt{20} + 4\sqrt{45} -2\sqrt{80} - \sqrt{180}\]
 simplifier chaque radical, puis effectuer la somme algébrique.
\item Mettre les expressions 
\begin{center}$A = 4x^2 + 4x + 1$ \qquad et \qquad $B = 9x^2 - 6x +1$\end{center}
 sous forme de carrés.

Écrire l'expression
\[C = a^2\left(4x^2 + 4x + 1\right) - b^2\left(9x^2 - 6x + 1\right)\]

sous la forme d'un produit de facteurs et calculer la valeur de $C$ quand 

$a = + 2,\: b = + 3,\: x = - \dfrac12$.
\item Un piéton et un cycliste partent au même instant d'une ville A pour se rendre à une ville B.

La vitesse du piéton est 4 km/h, celle du cycliste $20$ km/h.

En cours de route, le cycliste s'arrête pendant $30$~min et arrive en B 2~h~42~min avant le piéton.

Quelle est la distance AB ?

Donner une solution algébrique et une solution graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un cercle de centre O et une droite $(d)$ extérieure.

Soit E Je point d'intersection de $(d)$ avec le diamètre qui lui est perpendiculaire.

Par un point A de $(d)$ on mène les deux tangentes (AB) et (AC).

La corde [BC] coupe (OA) en H et (OE) en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer la relation 
\begin{center}OI $\cdot$ OE = OH $\cdot$ OA.\end{center}
\item Démontrer la relation 
\begin{center}OH $\cdot$ OA $= \overline{\text{OB}}^2$.\end{center}
\item En déduire que le point I est fixe lorsque le point A se déplace sur la droite $(d)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B. -} Le candidat est invité à étudier soigneusement, du point de vue de la similitude ,les triangles, la figure qu'il aura construite.
\end{document}