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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1959}
\rfoot{\small Aix-Marseille}
\lfoot{\small juin 1959}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-Marseille juin 1959 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel nombre faut-il ajouter au polynôme $A(x) = 4x^2  + 12x + 5$ pour qu'il soit le carré d'un binôme ?

Quel est ce carré ?

Retrancher de ce carré le nombre précédemment ajouté et écrire le polynôme $A(x)$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Calculer la valeur numérique de la fraction 
\[\dfrac{2x +5}{2x + 1 }.\]
	\begin{enumerate}
		\item pour $ x=- \dfrac52$ ;
		\item pour $x= \dfrac12$. 
	\end{enumerate}
Déterminer $x$ pour que l'on ait $\dfrac{2x +5}{2x + 1 }= - 3$.
\item Deux personnes possèdent ensemble 30 NF{}.

Si la première donne à la seconde la sixième partie de ce qu'elle a, la seconde aura alors la moitié de ce qui restera à la première. Combien possède chaque personne ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un cercle de centre O  de $5$~cm de rayon, deux cordes égales, [AB] et [CD] se coupent en E à l'intérieur du cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrez que les deux triangles ACE et BED sont égaux.

Que pouvez-vous en conclure pour les segments respectifs de chaque corde ?
\item Démontrez que le quadrilatère ACBD est un trapèze isocèle.
\item Supposons maintenant que, dans ce cercle, les cordes [AB] et [CD] aient la même longueur $8$~cm et que le segment [AE] mesure, en cm, $4 + \sqrt 7$.

Calculez la longueur du segment [OE].

Puis, avec les éléments que vous connaissez, construisez géométriquement la figure. (Vous appellerez H le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur (AB).)
\end{enumerate}
\end{document}