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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix-Marseille juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produits de facteurs
\[\begin{array}{l c l}
A(x)& =& 16x^2 - 49,\\
B(x)& =& (4x - 7)(x - 4)- (2x - 3)(4x - 7).
\end{array}\]

\item Simplifier la fraction

\[F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}.\]

Soit $F'(x)$ la fraction simplifiée.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer sa valeur pour $x = - \dfrac74$ et pour $x = - 1$.
		\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on  $F'(x) = 1$ ?
	\end{enumerate}
\item Construire les droites représentatives $\left(D_1\right)$ et 
$\left(D_2\right)$ des fonctions 
\begin{center}$y_1 =  4x +7$\qquad  et \qquad $y_2 = -x - 1$.\end{center}

Donner une solution graphique de la dernière question du 2.
\item La droite $\left(D_1\right)$ représentant la fonction
\begin{center}$y_1 =  4x +7$\end{center}
coupe l'axe $yy'$ en B.

Trouver l'équation de la droite $\left(D_3\right)$ qui passe par B et qui est parallèle à $\left(D_2\right)$.

Déterminer son point d'intersection avec l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Construire un triangle ABC rectangle en A dont
l'hypoténuse, [BC], et le côté [AB] ont pour mesures
$5$~cm et $4$~cm.

Soit H la projection de A sur (BC).

P étant un point quelconque du segment [AB], on mène par H la perpendiculaire à (HP) ; elle coupe (AC) en R.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les quatre points A, P, H, R sont
sur un même cercle.
\item Lorsque le point P décrit le segment [AB], le point R
décrit le segment 5CA].

Sur quelle ligne se déplace le centre M du cercle précédent ?
\item Soit A$'$ le point, autre que H, où ce cercle coupe (BC).

Démontrer que A, M, A$'$ sont alignés.
\item Quelle est la nature du quadrilatère APA$'$R ?
\item Calculer AM lorsque CH = HA$'$.
\end{enumerate}
\end{document}