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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Aix-Marseille}}
\rfoot{\small{juin 1963}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix-Marseille juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ chacune des fractions suivantes a-t-elle un sens:
\renewcommand\arraystretch{2}
\[\begin{array}{l c  l}
A(x) &=&\dfrac{2x^2 + 2x}{x^2 + 2x + 1}\\
B(x)&=&\dfrac{2x + 2}{x^2 - 1}\\
C(x)&=&\dfrac{4x^3 + 4x}{x^4 - 1}
\end{array}\]

Simplifier ces fractions.

Vérifier que $A(x) \times B(x) = C(x)$.
\item Calculer l'expression $E(x) = A(x) + B(x) - C(x)$.

Pour quelles valeurs de $x$ cette expression prend-elle les valeurs $E(x) = 0$  et  $E(x) = 1$ ?
\item Représenter sur un même graphique les variations des fonctions
\begin{center}$y_1 = x + 1$\qquad et\qquad  $y_2 = 2x - 2$.\end{center}

Comment peut-on retrouver, au moyen de ce graphique, la valeur de $x$ telle que 

$E(x) = 1$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un losange ABCD dont l'angle $\widehat{\text{B}}$ mesure $60\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le côté du losange ayant pour mesure $a$, calculer les longueurs des diagonales.
\item Une droite menée par D ne traversant pas le losange coupe la droite (AB) en E et la droite (BC) en F{}.

Montrer que les triangles ADE et CFD sont semblables.
\item En déduire que AC est moyenne proportionnelle entre AE et CF et que les triangles ACE et CFA sont semblables.
\item M étant le point commun aux droites (CE) et (AF), montrer que 
\begin{center}CA$^2 =$ CM $\times$  CE.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}