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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Aix-Marseille}}
\rfoot{\small{juin 1967}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix-Marseille juin 1967~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Factoriser les polynômes
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (6x + 7)^2- (2x- 1)^2, \\
B(x) &=& 2(x + 2)^2 - (x + 2)(x + 3).
\end{array}\]

\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels,
l'équation $B(x) = 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble d'existence de la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ ?
		\item Simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.
		\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation $\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0$.
		\item Calculer la valeur de $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ pour $x = \sqrt 3$.
		
Mettre le résultat sous une forme sans dénominateur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un triangle ABC isocèle de base [BC], on a 
\begin{center}AB = AC $= a$,\qquad  $\widehat{\text{BAC}} = 120\degres$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les mesures en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ et de la différence 
		$\widehat{\text{BAC}} - \widehat{\text{ABC}}$.
		\item Soit H la projection orthogonale de C sur la
droite (AB).

Calculer HA, HB et HC en fonction de $a$.

Vérifier que l'on a HC$^2 = \overline{\text{HA}} \cdot \overline{\text{HB}}$.
	\end{enumerate}
\item On donne un triangle ABC, dans lequel on a
\begin{center}$\widehat{\text{BAC}} - \widehat{\text{ABC}} = 90\degres$ \end{center}

On désigne par H la projection orthogonale de C sur (AB).
	\begin{enumerate}
		\item Comparer les angles $\widehat{\text{HCA}}$ et $\widehat{\text{ABC}}$.
		\item Comparer les triangles AHC et BHC.
		\item Montrer que l'on a 
\begin{center}HC$^2 = \overline{\text{HA}} \cdot \overline{\text{HB}}$.\end{center}
		\item Quelle est la tangente en C au cercle circonscrit au triangle ABC ?
		\item Montrer que l'orthocentre du triangle ABC est symétrique de C par rapport è la droite (AB).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}