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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix-en-Provence juin 1976~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Les candidats traiteront, au choix, deux des quatre exercices 
proposés ci-dessous. 

\bigskip

\textbf{EXERCICE 1}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Très satisfait&Assez satisfait&Assez déçu&Très déçu\\ \hline
Hommes&1&3&5&10\\ \hline
Femmes&6&8&3&1\\ \hline
Garçons&5&5&3&2\\ \hline
Filles&8&5&1&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Ce tableau enregistre la réaction d'un groupe de spectateurs interrogés après la projection d'un film.

Tous les sous-ensembles peuvent se définir à l'aide de quatre symboles suivants: $M$ (masculin), $A$ (adulte), $S$ (satisfait), $T$ (très), en utilisant la notation des sous-ensembles complémentaires, désignés par $\overline{M}$,\, $\overline{A}$,\, $\overline{S,}$\, $\overline{T}$, respectivement (on rappelle, que $\overline{M}$ est le sous-ensemble des éléments qui n'appartiennent pas à $M$.

Quel est le nombre d'éléments de chacune des parties suivantes :

\begin{enumerate}
\item $M$,\, $\overline{S}$,\, $T$,\, $\overline{A}$ ;
\item $M \cap \overline{A} \cap S \cap T$ ;
\item $(M \cap S)\cup (A \cap T)$ ;
\item $\overline{M} \cup \overline{S}$ ;
\item $\overline{M} - T$, ensemble des éléments de $\overline{M}$ qui ne sont pas éléments de $T$.
\item $E$ ensemble des éléments qui appartiennent à l'une ou l'autre des parties $S$ et $M$ et non simultanément aux deux ; (notation : $E = S \Delta M$).
\item $\overline{M} \cap \left(\overline{A} \cap \overline{S} 
\cap \overline{T} \right)$, ensemble des éléments non masculins, non adultes, assez déçus.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B. } -- Les sept questions sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2}

\medskip

On donne le plan P rapporté à un repère orthonormé \Oij. d'axes $x'\text{O}x$, $y'\text{O}y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne le point M(+ 2~;~+ 6).

Soit : M$'$ (respectivement : M$''$) la projection orthogonale de M sur O$x$ (respectivement O$y$).

On appelle D$'$ (respectivement D$''$) la parallèle menée par :M$'$ (respectivement : M$''$) à la première (respectivement seconde) bissectrice.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que N = D$' \cap \text{D}''$ existe et calculer ses coordonnées..
		\item Démontrer que le triangle OMN est rectangle isocèle.
		\item Démontrer que M$''$, I milieu de [MN] et J (+ 6~;~+2) sont alignés.
	\end{enumerate}
\item On donne le point A$(a~;~a')$ distinct de O. Soit A$'$ (respectivement A$''$) la projection orthogonale de A sur O$x$ (respectivement O$y$).

On appelle L$'$ (respectivement L$''$) la parallèle menée par A$'$ (respectivement A$''$) à la première (respectivement seconde) bissectrice.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que B = L$' \cap \text{L}''$  existe et montrer que ses coordonnées $(b~;~ b')$ sont données par les relations
~
\[\left\{\begin{array}{l c l}
b - b'&=&a,\\
b + b' &=&a'.
\end{array}\right.\]
		\item Démontrer que le triangle OAB est rectangle
isocèle.
		\item Montrer que la relation qui à tout A $\in$  P associe
B $\in$ P suivant la construction ci-dessus est fonctionnelle et qu'elle réalise une bijection de P sur lui-même.

Établir que O est le seul point qui soit sa propre image dans cette bijection.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}
\medskip

\textbf{N. B.} -- Les deux questions, \textbf{1.} et \textbf{2.} sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $A = (2x - 3)^2 + 4x^2 - 9 + 4x - 6$.
\item Résoudre l'équation $A = 0$.
\item Simplifier la fraction $\dfrac{A}{4x^2 + 4x + 1}$.
\item Tracer dans un même repère orthonormé les diagrammes des graphes des fonctions suivantes :

\[\begin{array}{l l c l}
f :& x&\longrightarrow &f(x) = y = 4x - 6,\\
g :& x&\longrightarrow &g(x) = y = 2x + 1.
\end{array}\]

Déterminer les coordonnées de leur point commun.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 4}

\medskip

On donne le demi-cercle de diamètre AB $= 2R$, de centre O.

Soit P tel que A soit milieu de [PO].

On appelle C le point de contact de la tangente au demi-cercle issue de P ; (PC) coupe en D (respectivement E) la tangente en A (respectivement B) au demi-cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer PC en fonction de $R$.
\item Démontrer que les quadrilatères AOCD et OBEC sont inscriptibles. 

Calculer PD et PE en fonction de $R$.
\item Calculer AD et BE en fonction de R.
\item Vérifier que PO$^2 = \overline{\text{PD}} \times \overline{\text{PE}}$.

 Peut-on en déduire la position relative de la droite (PO) et du cercle circonscrit au triangle ODE ?
\end{enumerate}
\end{document}