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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix-en-Provence juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer à $0,01$ près, par défaut et par excès, le nombre réel $x$, quatrième proportionnelle aux nombres suivants :

\[7,\quad  3 + \sqrt{5}\quad \text{et} \sqrt{5}- 5,\]

donnés dans cet ordre.
\item Existe-t-il des entiers relatifs, moyenne proportionnelle 

$\bullet~~$entre $\sqrt{77} - \sqrt{13}$ et $\sqrt{77} + \sqrt{13}$

$\bullet~~$entre $\sqrt{54} + \sqrt{7}$ et $\sqrt{54} - \sqrt{7}$.
\item Soit le polynôme suivant:

\[P(x) = (4x - 7)^2 + \left(49 - 16x^2\right) + \left(8x^2 - 14x\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Réduire ce polynôme en l'ordonnant suivant les puissances décroissantes de $x$.
		\item Factoriser $P(x)$.
		\item Existe-t-il des valeurs $x$ telles que $P(x) = 0$ et $P(x) = 98$ ?
		\item Déterminer le domaine de définition de la fraction rationnelle

\[F(x) = \dfrac{P(x)}{2x - 14 +(3x - 21)(x + 3)}.\]

		\item Simplifier $F(x)$, et appeler $F'(x)$ la fraction équivalente à $F(x)$ sur le même domaine de définition.
		\item Pour quelles valeurs de $x$ les deux termes de $F'(x)$ sont-ils simultanément positifs ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit un cercle de centre O et de diamètre [AB] mesurant $10$~cm.

Sur le cercle, on fixe deux points C et D, de part et d'autre de [AB], mais non symétriques par rapport à [AB] ou à O.

Soit M le milieu de la corde [AD] et I l'intersection de
(DC) avec (OM).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles (ABC) et (DIM).
\item En déduire que le quadrilatère (OICA) est inscriptible et que l'on a DM $\cdot$  AB = BC $\cdot$ DI.
\item Dans la suite du problème on suppose que $\widehat{\text{BAC}} = 60\degres$ et $\widehat{\text{OAD}} = 45\degres$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, éventuellement à 0,01 près, par défaut et par
excès, les mesures en centimètres des segments [AC],
[BC], [DM], [DI] et [IM].
		\item Calculer à $0,01 près$, par défaut et par excès, l'aire,
exprimée en centimètres carrés, du triangle (DMI).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}