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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix--Marseille juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit les fonctions rationnelles $f$ et $g$ définies dans $\R$ par
\begin{center}$f(x) = \dfrac{6x + 2}{x^2 - 1}$\qquad et \qquad $g(x) = \dfrac{2}{x - 1}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les sous-ensembles de $\R$ suivants : 

\begin{description}
\item[ ] $\mathcal{D}_1$ : ensemble de définition de $f$,
\item[ ] $\mathcal{D}_2$  : ensemble de définition de $g$,
\item[ ] $\mathcal{D}_3$  : ensemble de définition de $(f + g)$.
\end{description}

On rappelle que $(f + g) (x) = f(x) + g(x)$.

\medskip

\item On donne l'encadrement suivant du réel $\sqrt 7$ :
\[\np{2,6458} < \sqrt 7 < \np{2,6459}.\]

Calculer $g\left(\sqrt 7\right)$ et donner son encadrement à 0,01 près.

Calculer $(f + g)\left(\sqrt 7\right)$ et donner son encadrement à 0,01 près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre, dans $\R$, le système d'équations suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
10,2x - 1,8y &=& 17,\\
\phantom{10,2}x - 4y &=& 3,5.
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit (A, B, C) un triangle équilatéral du plan euclidien, c'est-à-dire tel que

$d$(A, B) = $d$(B, C) = $d$(A, C).

Soit H le milieu de (B, C) et K le milieu de (A, C) ; les droites (AH) et (BK) se coupent en G, centre de gravité du triangle.

Soit (A, C, M, L) le carré situé dans le demi-plan de frontière (AC) qui ne contient pas le point B.

Soit I le centre de ce carré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que B, G et I sont alignés.
\item On donne $d$(A, B) $= 6$ cm. 

Évaluer à 1 mm près, sachant que $1,73 < \sqrt 3< 1,74$ et 
$1,41 < \sqrt 2 < 1,42$,

$d$(B, I) ou BI, $d$(I, G) ou IG, $d$(B, G) ou BG et
$d$(A, I) ou AI.
\item Calculer le cosinus de l'écart angulaire de chacun
des angles géométriques $\widehat{\text{AIG}}$ et $\widehat{\text{AGB.}}$
\item Calculer, en degrés, les écarts angulaires des angles du triangle (A, I, G).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère \Oij, on donne les trois points A, B et C définis par leur couple respectif de coordonnées
\begin{center}A$(0,7~;~- 2,3)$,\qquad  B(5~;~2) \quad et \quad C$(- 1,5~;~- 4,5)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C sont alignés sur une droite ($\Delta$).
\item Former l'équation de la droite (AB).
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} - Les deux questions peuvent être traitées dans un ordre indifférent, laissé au choix du candidat.

\end{document}