\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Aix--Marseille juin 1978},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Aix--Marseille}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Aix--Marseille juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $p$ la fonction polynôme définie pour tout $x$ réel par

\[p(x) = 9x^2 - 82x + 9.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $p(100)$, ainsi que, le plus simplement possible, le quotient (entier) et le reste de la division euclidienne de $p(100)$ par $100$.
\item Démontrer que, quel que soit $x$,

\[9\left(x - \dfrac{41}{9}\right)^2 - \dfrac{\np{1600}}{9} =p(x),\]

et en déduire que $p(x) = (x - 9) (9x - 1)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère \Oij, on donne les points 

\begin{center} A(6~;~0),\quad  B(12~;~0) \quad et\quad  U$(0~;~-;6)$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $x - y - 6 = 0$ est une équation de la droite (AU) et que $x- 2y- 12 = 0$ est une équation de la droite (BU).
\item On appelle $\Delta$ la droite dont une équation est $x + y = 0$.

Démontrer que $\Delta$ coupe (AU) au point A$'$ de coordonnées $(3~;~-3)$ , et (BU) au point B$'$ de coordonnées $(4~;~-4)$.
\item Calculer les coordonnées de P milieu de (O, U) , Q milieu de (A, B$'$),
R milieu de (B, A$'$).

Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{PQ}}$ et $\vect{\text{PR}}$.

En déduire l'alignement de P, Q, R.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne un triangle OAB, rectangle en O, tel que $d$(O, A) = 14 et $d$(O, B) = 7.

Dessiner le triangle en vraie grandeur (unité de distance : 1 cm).

On appelle B$'$ le symétrique de B par rapport à O, I le milieu de (A, B$'$),
et C le point tel que $\vect{\text{OC}} = 2\vect{\text{OI}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadruplet (O, A, C, B$'$) est un rectangle.
\item Démontrer que $\vect{\text{BO}} = \vect{\text{OB}'} = \vect{\text{AC}}$
et que la droite (OC) est parallèle à la droite (AB).
\item Calculer $d$(A, B) et en donner un encadrement à $0,1$ près sachant que 
\[2,236 < \sqrt 5 < 2,237.\]
\end{enumerate}
\end{document}