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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Aix-Marseille}
\lfoot{\small juin 1981}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-Marseille juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ telle que 

\[f(x) = 9(- x + 2)^2 + 5(2x - 3)(- x + 2).\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ suivant le puissances décroissantes de $x$.
		\item Factoriser $f(x)$ ; résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans un plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} tracer la droite $(D)$ d'équation $y = - x + 2$ et la droite $(D')$ d'équation $y = x + 3$ (on prendra pour unité de longueur le double-centimètre).
		
Quelles sont les coordonnées des points A et A$'$ d'intersection de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ respectivement avec le droites $(D)$ et $(D')$ ?
		\item Soit H le point de $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$, M le point de $(D)$ et M$'$ le point de $(D')$ ayant tous les trois pour abscisse le réel $x$.
		
Exprimer en fonction de $x$, le produit $\overline{\text{HA}} \cdot \overline{\text{HA}'}$ et le produit $\overline{\text{HM}} \cdot \overline{\text{HM}'}$.

Que peut-on remarquer ?

En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \geqslant 0$ et de l'équation $|f(x)| = f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

On donne un cercle $C$ de centre O et de rayon 4~cm et un diamètre [AB] de ce cercle. 

Construire un point M de $C$ tel que AM = AO.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (A, O, M) est équilatéral.
\item Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB) et N Je symétrique de M par rapport à (AB).

Démontrer que N est un point de $C$.

Démontrer que (A, M, O, N) est un losange.
\item On note $s$ la symétrie centrale de centre O ; soit P et Q les images de M et de N dans cette symétrie centrale.

Démontrer que P et Q sont des points de $C$.
\item Démontrer que (M, N, P. Q) est un rectangle.
\item Que peut-on dire du triangle (A, B, M) ? 

Calculer BM.
\item Démontrer que les quatre angles $\widehat{\text{AMH}},\: \widehat{\text{HMO}}, \:\widehat{\text{OMB}}$ et $\widehat{\text{BMQ}}$ sont égaux.
\end{enumerate}
\end{document}