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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Aix-Marseille}
\lfoot{\small juin 1982}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-Marseille juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit les fonctions $h,\:, u,\:f$ et $g$  de $\R$ vers $\R$ définies respectivement par

\[\begin{array}{l c l}
h(x &=&(3x + 5)(x - 3)+ x^2 - 9\\
f(x)&=&4x^2 + 6x - \dfrac{85}{16}\\
u(x)&=&4\left(x^2 - 4\right) - (x + 2)^2\\
g(x)&=&\sqrt{2x - 3}.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Parmi ces fonctions il y a trois applications : les nommer.

Pour celle qui n'en est pas une, indiquer un ensemble de définition.

Calculer $f\left(\dfrac{21}{8}\right)$ et $g\left(\dfrac{21}{8}\right)$.
\item Factoriser $h(x)$ et $u(x)$, puis résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $h(x) = 0$ ;
		\item $h(x) = u(x)$.
	\end{enumerate}	
\item Calculer $f(a + 1) - f(a - 1)$.

En déduire $f(\np{1001}) - f(999)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans. un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, l'unité étant le centimètre, on considère les points :

\begin{center}A(3~;~0);\quad B(0~;~2);\quad C$(x~;~0)$\quad et \quad D$(-3~;~-2)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'abscisse $x$ du point C pour que ce point soit le symétrique de A par rapport à O.
\end{enumerate}

\emph{Dans toute la suite du problème on prendra }\:$x = - 3$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que (O, B, C, O) est un parallélogramme.

Démontrer que OD = AB puis calculer OD.
\item  Les droites (OD) et (AB) se coupent au point I.

Démontrer que I est le milieu de [AB] et calculer OI.
\item Déterminer le réel $k$ tel que $\vect{\text{ID}} =k \vect{\text{IO}}$.
\item Les droites (AB) et (CD) se coupent au point E.

Démontrer que OD = BE.
\end{enumerate}
\end{document}