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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Aix-en-Provence}
\lfoot{\small juin 1985}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-en-Provence juin 1985 \decofourright}}\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par 

\[f(x)=(3x - 4)^2 - (2x - 5)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$.
\item Montrer que $f(x) = 5x^2 - 4x - 9$.
\item Résoudre $f(x) = 0$.

En déduire que $f$ n'est pas une bijection.
\item Calculer : $f(1)\:; f\left(\dfrac85\right)\:; f\left(- \dfrac43\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f\left(\sqrt 5\right) = 16 - 4\sqrt 5$.
		\item Sachant que $3,236 < \sqrt 5 < 2,237$, calculer un encadrement de $f\left(\sqrt 5\right)$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip 

L'unité est le centimètre. Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij{},

 $\left\|\vect{\imath}\right\| = 1,\; \left\|\vect{\jmath}\right\| = 1$.

Placer les points A(6~;~6), B(4~;~2), C(2~;~4).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la droite (BC) et une équation de (OA).
\item Montrer que (BC) et (OA) sont perpendiculaires.
\item Calculer les coordonnées du point I, intersection
de (BC) et (OA).
\item Calculer $\left\|\vect{\text{BC}}\right\|$ et $\left\|\vect{\text{AI}}\right\|$.
\item Calculer l'aire du triangle ABC.
\item Montrer que OA et BC ont le même milieu I.
\item Montrer que le quadrilatère OBAC est un losange ; calculer son aire.
\end{enumerate}
\end{document}