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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Aix--Marseille}
\lfoot{\small juin 1986}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Aix--Marseille juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie I.}

\medskip

On considère deux fonctions $f$ et $g$
définies dans $\R$ par : 

\[f(x) = (2x - 1)^2 - (5x + 1)(6x - 3) + 8x^2 - 2, \quad g(x) = 36x + 81x^2 + 4.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$.

Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation: $g(x) = 2f(x)$.
\item Calculer $g\left(- \dfrac23\right)$ puis $f\left(\sqrt 3\right)$.

Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, donner la valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près par excès de $f\left(\sqrt 3\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II.}

\medskip 

On considère un triangle ABC. La hauteur issue de A coupe la droite (BC) en M, la hauteur issue de B coupe la droite (AC) en N, la hauteur issue de C coupe la droite (AB) en P.

On appelle H l'orthocentre du triangle ABC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure dans les deux cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item le triangle ABC a trois angles aigus,
		\item le triangle ABC a un angle obtus de sommet A.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'orthocentre du triangle HAB.
\item Tracer le cercle de diamètre [CH].

Démontrer que ce cercle passe par les points M et N.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III.}

\medskip  

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points suivants

\begin{center}A$(-3~;~3)$,\quad B(1~;~3), \quad C$(-1~;~-1)$,\quad  D$(-5~;~-1)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la droite $\Delta_1$ passant par A et D et une équation de la droite $\Delta_2$ passant par B, parallèle à la droite (AC).
$\Delta_1$ et $\Delta_2$ se coupent en S.

Vérifier que le point S a pour coordonnées $(- 1~;~7)$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? 

En déduire que le quadrilatère SBCA est un parallélogramme.

Montrer que le parallélogramme SBCA est un losange.

En déduire que le point E symétrique de D par rapport à la droite (SC) appartient à la droite $\Delta_2$.
\item Soit $\alpha$ la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{SAB}}$.

Calculer la tangente de $\alpha$.

Lire dans le tableau ci-dessous la valeur approchée à un degré près par défaut de $\alpha$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\alpha$ &$\tan \alpha$\\ \hline\hline
62\degres &\np{1,8807}\\ \hline
63\degres &\np{1,9626}\\ \hline
64\degres &\np{2,0503}\\ \hline
65\degres &\np{2,1445}\\ \hline
66\degres &\np{2,2460}\\ \hline
67\degres &\np{2,3559}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}