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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Aix-Marseille}
\lfoot{\small juin 1989}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-Marseille\footnote{Corse, Montpellier, Nice, Toulouse} juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Mettre $\left(1 + \sqrt 3\right)^2$ sous la forme $a + \sqrt 3$, $a$ et $b$ désignant deux entiers naturels.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$x$ désignant un nombre réel quelconque, factorise, l'expression $x^2(x - 1) - 4(x - 1)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré en $x$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ et $y$ désignant des nombres réels, résoudre le système
suivant, d'inconnues $x$ et $y$

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y &=& \np{3778}\\
x - y &=& 200.
\end{array}\right.\]

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte et une valeur approchée au
millième près par défaut de 

$a = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{300}}$.
\item Calculer la valeur exacte et une valeur approchée au millième près par défaut de 

$b = 1 + \dfrac{1}{300}$.
\item $a$ et $b$ ont-ils même valeur exacte ?

$a$ et $b$ ont-ils même valeur approchée au millième ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\begin{center}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(5.2,4.4)
\psline(5.2,0.2)(0.2,0.2)(0.2,4.3)
\rput{30}(1.67,0.2){\psframe(0,0)(3,3)}
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](2.5,4.15){A} \uput[r](4.2,1.3){B} \uput[d](1.6,0.2){C} \uput[l](0.2,2.6){D}
\end{pspicture}
\end{center}

$\bullet~~$ABCD est un carré.

$\bullet~~$(OC) est perpendiculaire à (OD).

$\bullet~~$OC $= 2$ cm.

$\bullet~~$OD $= 3$~cm.

Quelle est l'aire, en cm$^2$, du carré ABCD ?

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4)
\pspolygon(0.2,0.2)(4.5,0.2)(0.2,3.4)%ACB
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\psline(1.1,0.2)(1.1,2.75)%DF
\uput[u](1.1,2.75){F} \uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[ul](0.2,3.4){B} \uput[dr](4.5,0.2){C} \uput[d](1.1,0.2){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

$\bullet~~$ABC est un triangle rectangle en A.

$\bullet~~$(DF) est parallèle à (AB).

$\bullet~~$AD $= 1,6$ cm, \quad AC = 8 cm, \quad  BF = 2 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur BC.
\item Le cercle de diamètre [AF] passe-t-il par D ? (expliquer brièvement pourquoi)

Le cercle de diamètre [AF] passe-t-il par B ? (expliquer brièvement pourquoi)
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.5)(8.5,1.5)
\pscircle(0,0){1.2}
\psline[linestyle=dashed](0,-1.2)(0,1.2)
\pspolygon(0,0)(8.4,0)(0.2,1.15)%CGH
\rput{-102}(0.2,1.19){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,-0.2)(1.2,-0.2)\uput[d](0.6,-0.2){\np{6400}}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,-0.2)(8.4,-0.2)\uput[d](4.8,-0.2){\np{36000}}
\uput[l](0,0){C} \uput[ur](1.2,0){E} \uput[ur](8.4,0){G} \uput[ur](0.2,1.19){H} \uput[u](0,1.2){N} \uput[d](0,-1.2){S}
\end{pspicture}
\end{center}

Le cercle de centre C représente la Terre. Son rayon est de \np{6400}~km. G est un point de l'espace situé à \np{36000}~km du point
E, E étant un point de l'équateur.

La droite (GH) est tangente au cercle en H. Le point N représente le Nord et S, le Sud.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi le triangle GHC est rectangle en H.
\item Calculer la latitude Nord du point H, c'est-à-dire l'angle

EëH, à un degré près par défaut. On donne:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés&Sinus&Cosinus\\ \hline
80& \np{0,9848}& \np{0,1736}\\ \hline
81& \np{0,9877}& \np{0,1564}\\ \hline
82& \np{0,9903}& \np{0,1392}\\ \hline
83& \np{0,9925}& \np{0,1219}\\ \hline
84& \np{0,9945}& \np{0,1045}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voici l'extrait d'une facture de téléphone:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|ll|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline

&Destinataire&\\
FACTURE								&M\up{me} AUGER&\\ \hline
\textcircled{1}\textbf{ABONNEMENT}	&&151,76 F\\
\textcircled{2}\textbf{CONSOMMATION}& 696 unités à 0,615 F&428,04 F\\ \hline
									&\textcircled{3} TOTAL FACTURE H.T.&579,80 F\\
									&\textcircled{4} T.V.A. 18,60\,\%& 107,84 F\\
									&\textcircled{5} TOTAL FACTURE T.T.C.&687,64 F\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\bullet~~$La ligne \textcircled{3} (facture H.T. signifie facture hors taxes) est la somme des lignes \textcircled{1} et \textcircled{2}.

$\bullet~~$La ligne \textcircled{4} (la T.V.A. est la taxe) représente 18,60\,\% de la ligne \textcircled{3}.

$\bullet~~$La ligne \textcircled{5} (facture T.T.C. signifie facture toutes taxes comprises) est la somme des lignes \textcircled{3} et \textcircled{4}.

Les calculs sont arrondis au centime près par défaut.

Sur le modèle de la facture de Madame Auger, compléter la facture de Monsieur Hervé reproduite ci-dessous (vous vous contenterez de remplir les trois cases laissées libres sur cette facture).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|ll|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline

&Destinataire&\\
FACTURE								&M. HERVÉ&\\ \hline
\textcircled{1}\textbf{ABONNEMENT}	&&151,76 F\\
\textcircled{2}\textbf{CONSOMMATION}& 280 unités à 0,615 F&172,20 F\\ \hline
									&\textcircled{3} TOTAL FACTURE H.T.&\\
									&\textcircled{4} T.V.A. 18,60\,\%&\\
									&\textcircled{5} TOTAL FACTURE T.T.C.&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Vous voulez aider Madame Auger à comparer le coût d'utilisation mensuel T.T.C. du téléphone à domicile et du téléphone dans une cabine publique. Vous savez que

$\bullet~~$le prix d'abonnement mensuel T.T.C. du téléphone à domicile est $90$~F;

$\bullet~~$le prix d'une unité T.T.C. à domicile est $0,73$~F;

$\bullet~~$le prix d'une unité dans une cabine publique est $0,80$~F.

Vous désignez par $x$ le nombre d'unités consommées en un mois, par $f(x)$ la dépense mensuelle en francs à domicile, par $g(x)$ la dépense mensuelle en francs dans une cabine publique.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(x)$ et $g(x)$.
\item Tracer les droites d'équations $y = 0,73x + 90$ et $y = 0,8x$.
(dans le repère ci-après)
\item Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $x$ :\: $0,73x + 90 = 0,8x$. (Vous donnerez une valeur approchée de la solution à l'unité près par excès.)

\begin{center}
\psset{unit=0.006cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-100,-100)(1800,1800)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1000,Dy=1000]{->}(0,0)(0,0)(1800,1800)
\multido{\n=100+200}{3}{\uput[d](\n,0){\small \n}}
\multido{\n=100+100}{18}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,1800)}
\multido{\n=100+100}{7}{\uput[l](0,\n){\small \n}}
\multido{\n=100+100}{18}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(1800,\n)}
\uput[d](1750,0){$x$}\uput[l](0,1750){$y$}
\uput[u](1750,0){Unités}\uput[r](0,1750){Consommation en francs}
\end{pspicture}
\end{center}

\item  En utilisant les résultats précédents, déterminer à partir de combien d'unités mensuelles consommées le téléphone à domicile est plus économique. 

À quelle dépense mensuelle cela correspond-il? (Vous arrondirez au franc le plus proche.)
	\end{enumerate}
\item Madame Auger téléphone de chez elle, un samedi, à plus de $100$~km de son domicile.

Selon l'heure de la journée à laquelle elle téléphone, la durée d'une unité (c'est-à-dire la période pendant laquelle elle consomme $0,73$~F T.T.C.) est indiquée dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}r}
6 h &8 h &12 h 30&13 h 30&22 h 30&6 h\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
30 secondes&15 secondes&22 secondes&30 secondes&44 secondes\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Madame Auger a téléphoné pendant 2 minutes 56 secondes, la totalité de sa communication se situant dans une des 5 zones indiquées. Elle a consommé $2,92$~F (T.T.C.).

Dormait-elle dès 22 heures ?
\end{enumerate}
\end{document}