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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Diplôme national du brevet Collège}
\lfoot{\small{Aix--Marseille--Montpellier--Nice--Corse--Toulouse}}
\rfoot{\small{juin 1990}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix--Marseille\footnote{Montpellier--Nice--Corse--Toulouse} juin 1990~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Cocher ci-après les égalités qui sont toujours vraies.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{l X X}
$(x - 1)^2 = x^2 - x + 1$		&oui &non \\
$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$		&oui &non \\
$(x - 1)^2 =x^2 - 1$			&oui &non \\
$(x - 1)(x + 1) = x^2- x + 1$	&oui &non \\
$(x -1)(x + 1)= x^2 - 2x + 1$	&oui &non \\
$(x -1)(x + 1) = x^2 - 1$		&oui &non \\
$(x - 2)(x + 1) =x^2 - x + 1$	&oui &non \\
$(x - 2)(x + 1)  = x^2 - 1$		&oui &non \\
$(x - 2)(x + 1) = x^2- 2x + 1$	&oui &non \\
\end{tabularx}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans le repère ci-après, placer le point B de coordonnées (5~;~5).

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,7.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(7.5,7.5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](2,0)(2,3)(0,3)
\uput[dr](2,3){A}
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item Le point A a pour abscisse 2 et pour ordonnée 3. 
		
Déterminer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
		\item Déterminer l'équation de la droite (AB).
	\end{enumerate}
\item Voici les notes obtenues par $50$ élèves lors d'un test :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}| *{15}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note &5 &6 &7 &8 &9 &10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\ \hline
\scriptsize Effectif (nombre
d'élèves ayant la note indiquée en dessus)&1&0&2&5&5&7&7&5&8&5&3&0&0&1&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item On a représenté certaines des données sur le diagramme en bâtons ci-après. Terminer ce diagramme.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(16,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=4,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(16,9)
\psline[linewidth=1pt](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=1pt](4,0)(4,5)
\psline[linewidth=1pt](5,0)(5,5)
\psline[linewidth=1pt](8,0)(8,5)
\psline[linewidth=1pt](10,0)(10,5)
\psline[linewidth=1pt](14,0)(14,1)
\psline[linewidth=1pt](15,0)(15,1)
\uput[d](14.3,-1){Note obtenue}	
\uput[r](0,8.5){Effectif}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item Compléter la troisième ligne du tableau ci-dessous

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|c| *{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Note 			&5 			&6 	&7 	&8 	&9 	&10	&11	&12	&13	&14	&15	&16	&17	&18	&19\\ \hline
Effectif 		&1			&0	&2	&5	&5	&7	&7	&5	&8	&5	&3	&0	&0	&1	&1\\ \hline
\small Fréquence&\small 0,02&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Cocher ci-après la case correspondant à la réponse.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{c m{6cm} X}
\textcircled{1}&Lorsqu'on double la longueur d'un rectangle sans modifier la largeur, son aire est
multipliée par :&$\left\{\begin{array}{l l}
2&\Box\\
4&\Box\\
6&\Box\\
8&\Box\\
\end{array}\right.$\\
\textcircled{2}&Lorsqu'on double le rayon d'un cercle, son aire est multipliée par :&$\left\{\begin{array}{l l}
2&\Box\\
4&\Box\\
6&\Box\\
8&\Box\\
\end{array}\right.$\\
\textcircled{3}&Lorsqu'on double les trois dimensions d'un parallélépipède rectangle, son volume est multiplié par :&$\left\{\begin{array}{l l}
2&\Box\\
4&\Box\\
6&\Box\\
8&\Box\\
\end{array}\right.$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Sur cette figure, AB $= 1$cm, BB$' = 2$~cm, AC$' = 7,5$~cm et la droite(BC) est parallèle à la droite (B'C').

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.8)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.3)(7.5,0.3)(2,2.2)%B'C'A
\psline(1.45,1.5)(4,1.5)%BC
\uput[u](2,2.2){A} \uput[ul](1.45,1.5){B} \uput[ur](4,1.5){C} \uput[dl](0.5,0.3){B$'$} \uput[dr](7.5,0.3){C$'$}
\psline{<->}(0.4,0.4)(1.3,1.5)\psline{<->}(1.3,1.5)(1.87,2.26)
\rput{50}(0.8,1.2){\small 2~cm}\rput{50}(1.5,2.1){\small 1~cm}\rput{-23}(5,1.65){\small 7,5~cm}
\psline{<->}(2.15,2.3)(7.6,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

Cocher ci-après la case correspondant à la réponse.

	\begin{enumerate}
		\item Le théorème qui permet de calculer la longueur AC est le  
		
\begin{center}
$\left\{\begin{array}{l l}
\text{théorème de Pythagore}&\Box\\
\text{théorème de Thalès}& \Box\\
\text{autre}&\Box\\
\end{array}\right.$
\end{center}

		\item La longueur AC est égale à 
\begin{center}
$\left\{\begin{array}{l l}
2,3~\text{cm }&\Box\\
2,4~\text{cm }&\Box\\
2,5~\text{cm }&\Box\\
2,7~\text{cm }&\Box\\
\end{array}\right.$
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Le motif \circlenode{A}{$m$} est la figure ABC.

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(15,14)
\psgrid[subgriddiv=5,gridwidth=0.2pt,gridlabels=0pt]
\psline[linewidth=1.5pt](10,8)(7,5)(10,4)
\psarc[linewidth=1.5pt](10,6){2}{-90}{90}
\rput(10,6){\circlenode{A}{$m$}}
\uput[u](10,8){B} \uput[l](7,5){A} \uput[d](10,4){C}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Dessiner le motif \circlenode{B}{$m_1$} symétrique de \circlenode{A}{$m$} par rapport au point A.
		\item Dessiner le motif \circlenode{B}{$m_2$} symétrique de \circlenode{A}{$m$} par rapport au point B.
		\item Dessiner le motif \circlenode{B}{$m_3$} symétrique de \circlenode{A}{$m$} par rapport à la droite (AB).
		\item En examinant la figure, dire quelle est la transformation qui
fait passer du motif \circlenode{B}{$m_1$} au motif \circlenode{B}{$m_2$}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

On considère une pyramide ABCDE à base rectangulaire ABCD
et de sommet E. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.2)(3,2.4)
\pspolygon(0,1.8)(-1.8,0.8)(-2.7,-0.8)%EBA
\pspolygon(-2.7,-0.8)(1.8,-0.8)(0,1.8)(2.6,0.8)(1.8,-0.8)%ADECD
\psline[linestyle=dashed](0,1.8)(0,0)%EI
\psline[linestyle=dashed](-2.7,-0.8)(2.7,0.8)(-1.8,0.8)(1.8,-0.8)%ACBD
\uput[dl](-2.7,-0.8){A} \uput[ul](-1.8,0.8){B} \uput[ur](2.7,0.8){C}
\uput[dr](1.8,-0.8){D} \uput[u](0,1.8){E} \uput[d](0,0){I}
\end{pspicture}
\end{center}

Les diagonales du rectangle ABCD se coupent en leur milieu I. 

On donne les dimensions suivantes :

AB $= 6$~cm,\quad BC $= 12$~cm,\quad AE $= $ EC $= 8$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
		\item Démontrer que AC $= 6\sqrt{5}$ cm et AI $= 3\sqrt{5}$ cm.
	\end{enumerate}	
\item Voici la représentation plane du triangle AEC.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.9,-0.2)(2.9,2.4)
\pspolygon(0,1.9)(-2.6,0)(2.6,0)%EAC
\psline(0,1.9)(0,0)%EI
\psline(-1.25,-0.1)(-1.15,0.1)\psline(-1.2,-0.1)(-1.1,0.1)
\psline(1.15,-0.1)(1.25,0.1)\psline(1.2,-0.1)(1.3,0.1)
\uput[dl](-2.6,0){A}\uput[dr](2.6,0){C}\uput[u](0,1.9){E}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle AEC ? 
		
En déduire que la droite (EI) est perpendiculaire à la droite (AC).
		\item Calculer la valeur exacte de la longueur IE.
	\end{enumerate}	
\item Calculer le volume en cm$^3$ de la pyramide. On en donnera la valeur exacte et une valeur approchée à $0,1$ près par défaut.
\item On coupe la pyramide par un plan (P) parallèle à la base ABCD. (P) coupe les arêtes [EA], [EB], [EC] et [ED] respectivement en J, H, K et L.

On donne EJ $= \dfrac{1}{3}$EA.

Calculer le volume en cm$^3$ de la pyramide EJHKL.

On en donnera la valeur exacte et une valeur approchée à $0,1$ près par défaut.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.2)(3,2.4)
%\psgrid
\pspolygon(0,1.8)(-1.8,0.8)(-2.7,-0.8)%EBA
\pspolygon(-2.7,-0.8)(1.7,-0.8)(0,1.8)(2.6,0.8)(1.7,-0.8)%ADECD
\psline[linestyle=dashed](0,1.8)(0,0)%EI
\psline[linestyle=dashed](-2.7,-0.8)(2.6,0.8)(-1.8,0.8)(1.7,-0.8)%ACBD
\uput[dl](-2.7,-0.8){A} \uput[ul](-1.8,0.8){B} \uput[ur](2.7,0.8){C}
\uput[dr](1.7,-0.8){D} \uput[u](0,1.8){E} \uput[d](0,0){I}
\psline(-0.5,1.55)(-0.8,1)(0.5,1)(0.75,1.55)%HJLK
\uput[ul](-0.5,1.55){\small H}\uput[l](-0.8,1){\small J}\uput[r](0.5,1){\small L}\uput[ur](0.8,1.55){\small K}
\psline[linestyle=dashed](0.6,1)(-0.5,1.55)(0.75,1.55)(-0.8,1)%LHKJ
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}