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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Aix--Marseille}
\lfoot{\small juin 1991}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Aix--Marseille juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Trouver la bonne réponse parmi les trois proposées.

Ecrire cette réponse dans la dernière case.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\dfrac16 + \dfrac19$  est égal à &$\dfrac{2}{15}$&0,277&$\dfrac{5}{18}$&\\ \hline
$1 - \dfrac32  \times \dfrac29$ est égal à&$\dfrac23$&$- \dfrac19$&$- \dfrac{5}{18}$&\\ \hline
$(1 + 2)^2$ est égal à&$1^2 + 2^2$&$1^3 + 2^3$&6&\\ \hline
$\sqrt{4 + 16}$ est égal à&10&6&$2\sqrt 5$&\\ \hline
$\sqrt 8 - \sqrt 2$ est égal à&$\sqrt 2$&$\sqrt 6$&1,41&\\ \hline
Pour tout nombre $x,\, (2x - 3)^2$ est égal à&$2x^2 - 12x + 9$&$4x^2 - 9$&$4x^2 -12x + 9$&\\ \hline
Pour tout nombre $x$, $x^2~-~100$ est égal à&$(x - 10)^2$&$(x - 10)(x + 10)$&$(x - 50)^2$&\\ \hline
Un objet coûtant 127~F augmente de 5\,\%. Le nouveau prix est alors de&132 F&
127,05 F& 133,35 F&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un jardin, le tiers de la surface est recouvert par des fleurs,
un sixième par des plantes vertes et le reste, soit 150 m$^2$, est occupé par de la pelouse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $x$ l'aire, en m$^2$, de ce jardin.

Traduire cet énoncé par une équation, où l'inconnue est $x$.
\item Calculer l'aire de ce jardin.
\end{enumerate}



\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Lire les questions ci-dessous et compléter la figure suivante après l'avoir reproduite,

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(4.6,2.7)
\pspolygon(0.2,0.2)(4.2,0.2)(3.6,2.2)%BCA
\uput[l](0.2,0.2){B} \uput[r](4.2,0.2){C} \uput[u](3.6,2.2){A}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire le point D tel que

\[\vect{\text{AD}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}.\]

\item Tracer (en couleur) l'image du triangle ABC par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.62\linewidth}
L'unité est le centimètre.

On considère la figure ci-contre, pour laquelle on a : 

(C) est un cercle de centre O et de rayon 4 ;

[OA] et [OB]  sont des rayons tels que OH $= 1,6$ ;

les droites (BH) et (AO) sont orthogonales ; 

la droite (T) est tangente au cercle (C) en A ; 

(T) et (OB) se coupent en E.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6667cm}
\begin{pspicture}(-3.6,-4.1)(2.5,2.6)
%\psgrid
\pscircle(0,0){1.35}
\psline(-3.4,-3.8)(1.05,1.22)(0.38,-0.4)
%\pscircle(-1.7,-1.9){3.17}
\psline(-3.4,-3.8)(-0.7,2)
\psline(-1.13,1.17)(1.13,-1.17)
\uput[d](0.38,-0.4){H}
\uput[u](0,0){O}
\uput[ul](-1.13,1.17){A}\uput[ur](1.05,1.22){B}
\uput[d](-3.4,-3.8){E}
\rput(-1,-3.4){Échelle $\dfrac12$}
\rput{59}(0.38,-0.4){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput(-0.9,2.1){(T)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{enumerate}
\item Calculer $\sin \widehat{\text{OBH}}$, puis déterminer l'arrondi à $1\degres$ près de l'angle
$\widehat{\text{OBH}}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que (BH) et (T) sont parallèles.
		\item En utilisant le théorème de Thalès (le citer en utilisant le points
de la figure), calculer $\dfrac{\text{OB}}{\text{OE}}$ puis OE.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
%\begin{enumerate}
%\item 
%\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans un repère orthonormal du plan, la droite (AB) a pour équation $y =3x + 2$.

Le point A est situé sur l'axe des abscisses et le point B est situé sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le coefficient directeur de la droite (AB) ?
		\item Déterminer par le calcul les coordonnées des points A et B. 
		\item Le point C$(-0,8~;~0,5)$ appartient- il à la droite (AB) ?
	\end{enumerate}	
\item H est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le coefficient directeur de la droite (OH) (justifier la réponse) ?
		\item Prouver que la droite (OH) a pour équation :
J
		\item Calculer les coordonnées du point H.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.75)(1.5,2.5)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-0.75)(1.5,2.5)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1.25}{0.25}{x 3 mul 2 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1.25}{0.25}{x 3 div neg}
\uput[dr](0,0){O}\uput[dr](-0.667,0){A}\uput[r](0,2){B}
\uput[u](1.4,0){$x$} \uput[l](0,2.4){$y$}\uput[ul](-0.6,0.2){H}
\rput{-18.43}(-0.6,0.2){\psframe(0.2,0.2)}
\end{pspicture*}
\end{center}

%\begin{enumerate}
%\item 
%\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

On ne demande pas de refaire la figure.

ABCDEFGH est un cube dont l'arête a pour longueur 3 cm. 

K est un point de l'arête [DH].

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(4.1,3.8)
\psframe(0.2,0.2)(2.7,2.7)%ABFE
\psline(2.7,0.2)(3.6,1)(3.6,3.5)(2.7,2.7)%BCGF
\psline(3.6,3.5)(1.1,3.5)(0.2,2.7)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.1,1)(3.6,1)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.1,2.6)(2.7,0.2)(1.1,1)(1.1,3.5)%KBDH
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.1,2.6)(3.6,1)%AKC
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](2.7,0.2){B} \uput[r](3.6,1){C} \uput[l](1.1,1){D}
\uput[l](0.2,2.7){E} \uput[dr](2.7,2.7){F} \uput[ur](3.6,3.5){G} \uput[ul](1.1,3.5){H}
\uput[l](1.1,2.6){K} 
\end{pspicture}
\end{center}

On considère la pyramide de sommet K et de base ABCD ; sa hauteur est le segment [KD].

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, K est \emph{le milieu} de l'arête [DH]. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ABD ?
Justifier la réponse.
		\item Démontrer que DB $=3\sqrt 2$. Déterminer l'arrondi de DB à
0,1 près.
	\end{enumerate}
\item On considère le triangle HDB, rectangle en D.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de HB.
		\item Le point I est le centre du carré ABCD.
		
Que représente I pour le segment [BD] ? Pourquoi ?
		\item Démontrer que les droites (KI) et (HB) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, le point K a une position quelconque sur l'arête [DH]  ; $x$ désigne la longueur, en cm, de DK et $y$ le volume, en cm$^3$,
de la partie du cube qui n'est pas occupée par la pyramide KABCD.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?
		\item Exprimer le volume de la pyramide KABCD en fonction de $x$.
		\item En déduire que $y =27 - 3x$.
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal.

Représenter graphiquement le volume $y$ en fonction de la longueur $x$.

On choisira comme unités graphique :

4 cm sur l'axe des abscisses ;

1 cm sur l'axe des ordonnées.
\item Par lecture directe du graphique, répondre aux questions suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item quelle est la valeur de $x$ pour laquelle le volume $y$ est égal à $22,5$ cm$^3$ ?
		\item quel est le volume correspondant à DK $= 2,5$ cm ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}