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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 1993}}
\rfoot{\small{Groupement 1}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 1 \footnote{Aix-Marseille, Montpellier, Toulouse, Nice}
  juin 1993 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $(4x - 3)^2$.
\item Recopier et compléter :

\[(3x + \ldots)^2 = \ldots + 6x + 1\]

\[16x^2 - 25 = (\ldots + 5)(\ldots - 5)\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter :

\[25x^2 + 30x + 9 = (5x + \ldots)^2\]

\item Résoudre alors l'équation $25x^2 + 30x = - 9$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne $a = \sqrt{2}$ et $b = 1 - \sqrt{2}$.

Écrire les nombres suivants sous la forme $x + y\sqrt{2}$, où $x$ et $y$ sont deux nombres entiers qu'il faudra calculer ($x$ et $y$ peuvent être éventuellement nuls) :

\[a + b \quad ; \quad ab \quad ; \quad a^3\quad ; \quad b^2\quad ; \quad a^3b^2.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x - y&=&3\\
x - 3y&=&- 1
\end{array}\right.\]


\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère la figure ci-dessous telle que les droites (BD) et (CE) sont parallèle, et telle que :

\begin{center} AB = 3\quad ; \quad AC = 7\quad ; \quad AD = 4\quad ; \quad BD = 4\end{center}

L'unité de longueur est le centimètre.

En précisant chaque fois la propriété utilisée, et en écrivant les calculs nécessaires, trouver les valeurs exactes de AE, DE, puis de CE.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(10,10.5)
\pspolygon(0.5,4.8)(10,0.4)(6.15,10.2)%AEG
\psline(2.95,7.1)(4.5,2.9)%BD
\uput[l](0.5,4.8){A} \uput[ul](2.95,7.1){B} \uput[dl](4.5,2.9){D} 
\uput[dl](10,0.4){E} \uput[4](6.15,10.2){C} 
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure ci-dessous représente un cube dont la longueur des arêtes est de 5~cm.

Sur les faces de ce cube, on a tracé les segments [AB], [BC] et [CA].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter sur votre copie, en \og vraie grandeur \fg, la face ASBD du cube et la diagonale [AB].
\item Dans le triangle rectangle ASB calculer AB.

De même calculer BC et CA en nommant les triangles rectangles utilisés.
\item L'objet de cette question est de construire un patron de la pyramide SABC.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter sur votre copie en vraie grandeur un triangle rectangle isocèle dont le côté de l'angle droit vaut 5~cm.
		\item À l'aide du compas, construire un triangle équilatéral dont un côté est confondu avec l'hypoténuse du triangle rectangle déjà tracé.
		\item Terminer le patron de la pyramide.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6.3)
\psframe(0.5,0.5)(3.9,3.9)%DBSA
\psline(3.9,0.5)(5.8,2.3)(5.8,5.7)(3.9,3.9)%BECS
\psline(5.8,5.7)(2.3,5.7)(0.5,3.9)(5.8,5.7)(3.9,0.5)(0.5,3.9)%CRACBA
\psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(2.4,2.3)(5.8,2.3)%DFE
\psline[linestyle=dotted](2.4,2.3)(2.3,5.7)
\uput[l](0.5,3.9){A} \uput[dr](3.9,0.5){B} \uput[dl](0.5,0.5){D} 
\uput[dl](3.9,3.9){S} \uput[4](5.8,5.7){C}\uput[ul](2.3,5.7){R} \uput[r](5.8,2.3){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Dans un plan rapporté à un repère orthonormal d'origine O (d'unité
1~cm), on considère la droite $(\Delta)$ d'équation $y = \dfrac{1}{2} x + 2$ et les points
A$\left(3~;~\dfrac{7}{2}\right)$, \: B$\left(7~;~\dfrac{11}{2}\right)$, \: C$\left(4~;~\dfrac{5}{2}\right)$ et  D(2~;~0).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C, D dans le repère.
		\item Tracer la droite $(\Delta)$.
		\item Au moyen de calculs vérifier que les points A et B sont sur $(\Delta)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs exactes des distances AB, BC, CA.
		\item En déduire que le triangle ABC est rectangle en C.
	\end{enumerate}
\item Soit $(\mathcal{C})$ le cercle circonscrit au triangle ABC.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du centre I de $(\mathcal{C})$ (justifier vos calculs).
		
Placer I sur la figure. Tracer le cercle $(\mathcal{C})$.
		\item Calculer le rayon de $(\mathcal{C})$ (on montrera que ce rayon est égal $\sqrt{5}$.)
	\end{enumerate}
\item Soit le point E$\left(6~;~\dfrac{7}{2}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point E.
		\item Calculer la distance IE.
		\item En déduire que E est sur le cercle.
	\end{enumerate}		
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (IE).
		\item En déduire qu'elle est la médiatrice du segment [AB].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}