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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix-Marseille septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étant donné deux axes de coordonnées O$x$ et O$y$,
on construit la droite d'équation 
\[y = \dfrac23 x\]
 et l'on prend sur cette droite un point C d'ordonnée $+ 2$.
 
 Quelle est l'abscisse de ce point C ?
\item Par le point C, on mène une perpendiculaire à la droite (OC) et cette perpendiculaire rencontre O$y$ en B.

Quelle est l'ordonnée du point B ?

Former l'équation de la droite (BC) ainsi obtenue.
\item Quand le point B se déplace sur l'axe O$y$, le triangle OCB se déforme, le côté [CO] conservant seul une position et une longueur invariables.

Déterminer les coordonnées du milieu de [CO].

Montrer que la droite qui joint les milieux de [CB] et de [CO] passe par un second point fixe, et donner l'équation de cette droite.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On donne un triangle ABC, rectangle en A, dans lequel AB $= 6$cm et AC $= 8$~cm.

Soit [AH] la hauteur relative à l'hypoténuse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC, AH et BH.
\item On trace les demi-droites B$x$ et C$y$ perpendiculaires à (BC) et situées par rapport à (BC) du même côté que A.

La médiatrice de [AB] coupe [AB] en I et B$x$ en D.

Comparer les triangles BDI et ABH et calculer les longueurs des côtés du triangle BDI.
\item On trace le cercle du centre D, de rayon DA.

Quelle est sa position par rapport à (BC) ?
\item La droite (DA) coupe C$y$ en E.

Montrer que le triangle ACE est isocèle.

On trace le cercle de centre E et de rayon EC.

Quelle est sa position par rapport à (BC) et par rapport au cercle précédent ?
\end{enumerate}
\end{document}