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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Aix-Marseille}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Aix-Marseille \:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle équilatéral ABC (AB = BC = CA $= 6$~cm).

Par un point D du segment [AB], on trace la parallèle à (BC).

Cette parallèle coupe (AC) en E. On pose BD $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre $y$ du triangle ADE et le périmètre $z$ du trapèze BDEC.
\item Représenter sur un même graphique les variations de $y$ et de $z$.
\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection des droites représentatives et vérifier ce résultat par le calcul.
\item Entre quelles limites $x$ doit-il être compris pour que l'inégalité $y < x$ soit vérifiée ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB] tel que  AB $= 2R$ et de centre O.

La perpendiculaire en O à (AB) et la médiatrice
de [AO] coupent le demi-cercle respectivement en C et D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $R$, les longueurs des segments [AD], [DB] et [CB].

Donner les valeurs des angles du quadrilatère ADCB.
\item Soient E l'intersection de (AD) et de (CB) et F l'intersection de (DB) et de (CA).

Montrer que (EF) est perpendiculaire à (AB).
\item Si (AB) pivote autour de O, sur quelles lignes se  déplacent le point F et le point E ?
\end{enumerate}
\end{document}