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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Aix_Marseille}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Aix-Marseille\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produit l'expression 
\[49 x^2 - 25\]
et montrer que le polynôme $49 x^2 + 70x + 25$, est le développement du carré d'un binôme du premier degré.
\item Simplifier l'expression
\[\dfrac{7x + 5}{49 x^2 + 70x + 25} - \dfrac{14x}{49 x^2 - 25}.\]
Montrer qu'on peut la mettre sous la forme $\dfrac{a}{bx + c}$
et déterminer la valeur des constantes $a,\: b,\: c$.

Préciser si l'on peut simplifier l'expression, quelle
que soit la valeur donnée à $x$.
\item Construire la droite $D$ représentant graphiquement les variations de la fonction $y = \dfrac{bx + c}{a}$.

Quel est son coefficient angulaire, $a,\: b$ et $c$ ayant les valeurs trouvées au 2. ?
\item Quelle serait l'équation de la droite $D'$ perpendiculaire à $D$ et passant par l'origine des coordonnées ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un triangle ABC rectangle en A.

Soit [AH] la hauteur de ce triangle, issue de A.

On prend le symétrique D de H par rapport à (AB), puis le symétrique E de H par rapport à (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les trois points D, A, E sont alignés.
\item Montrer que le quadrilatère DBCE est un trapèze rectangle, et que le cercle ayant [DE] pour diamètre est tangente en H à (BC).
\item On pose AC $= b$ et AB $= c$.

Exprimer en fonction des longueurs $b$ et $c$ l'aire du trapèze DBCE, la longueur BC de ce trapèze et celle de la hauteur [DE].
\item Quel doit être le rapport des longueurs $b$ et $c$
pour que l'angle $\widehat{\text{DBC}} = 60\degres$ ?
\end{enumerate}
\end{document}