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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lfoot{\small{Aix-Marseille}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Aix-Marseille septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit ABC un triangle rectangle en A, dans lequel AB $= 21$~cm, AC $= 28$~cm.

Par un point M pris sur [AB] on mène la parallèle à (BC), qui coupe (AC) en N.

On obtient un triangle AMN et un trapèze MNCB.

On pose AM $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer le périmètre du triangle AMN et le périmètre du trapèze MNCB.
\item Étudier les variations de ces périmètres lorsque M décrit le côté [AB].

Représentation graphique $\left(\text{échelle } \dfrac{1}{10}\right)$.
\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle ces deux périmètres sont égaux.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On trace un demi-cercle de diamètre BC $= 2R$.

De B on mène la corde [BA] telle que BA $= R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ABC ?

Calculer la longueur du côté [AC].
\item Soient B$x$ et C$y$ les deux demi-droites, perpendiculaires en B et C au diamètre [BC], situées du même côté de [BC] que le demi-cercle ; on prolonge [AC] et [AB] jusqu'à leur rencontre avec ces demi-droites en D et E.

Calculer la longueur des segments [DC], [DB], [BE] et [CE].
\item On appelle I le milieu de [BD], J le milieu de [CE].

Montrer que I, A, J sont alignés et calculer la longueur de [IJ] en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}