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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Aix--Marseille}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Aix--Marseille}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer l'expression

\[(x + 3)^2 + (2x - 5)^2 - (x + 3)(x - 3).\]

\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré
\[(2x+3)(4x + 5) - \left(4x^2 - 9\right) + \left(4x^2 + 12x + 9\right).\]

\item Représenter graphiquement les fonction 
\begin{center}$y = 2x - 4$ \qquad et \qquad  $y = - x + 5$.\end{center}

Calculer les coordonnées de leur point d'intersection,
\item On prend sur la droite $y=- x + 5$ le point M d'abscisse 2 ; calculer l'ordonnée de M.

Établir l'équation de la droite passant par M et le point P de coordonnées (4~;~7).

Sans faire la représentation graphique comparer la fonction obtenue à l'une de celle gui vous sont données.

Qu'ont-elles de particulier ?

Quelle est la signification géométrique de cette particularité ?
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC rectangle en A dans lequel AB $= 4$~cm et AC $= 3$cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC.
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre O circonscrit au triangle ABC.

De l'autre côté de A par rapport à B, on prolonge [AB] d'une longueur AD = AB.

Nature du triangle BDC ?
\item (DC) recoupe le cercle $\mathcal{C}$ en E.

Calculer CE.
\item De l'autre côté de A par rapport à C on prolonge [AC] d'une longueur AF = AC.

Nature du quadrilatère BFDC ?

(BF) recoupe le cercle $\mathcal{C}$ en G.

Calculer BG.
\item (GC) coupe (BD) en I.

Montrer que les triangles BGI et DIC sont semblables.

Évaluer le rapport de similitude.
\end{enumerate}
\end{document}