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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix-Marseille septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On donne
\[A(x) = (2x - 1)^2 - (3 - x)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $A(x)$ et l'écrire sous la forme d'un polynôme ordonné.

Calculer $A(x)$ pour $x = \dfrac12$ et $x = 3.$
\item Décomposer $A(x)$ en produit de deux facteurs et 
résoudre l'équation $A(x)= 0$.
\item Construire les droites $D_1$ et $D_2$ représentant
les fonctions
\begin{center}$y = x + 2$, \qquad et\qquad  $y = 3x - 4$.\end{center}
\item Par un point M de l'axe $x'\text{O}x$ on mène la parallèle
à l'axe $y'\text{O}y$, qui rencontre les droites $D_1$ et $D_2$ en 
A et B.

Si $x_1$ est l'abscisse de M, évaluer $\overline{\text{MA}}$ et $\overline{\text{MB}}$.

Calculer $x_1$ pour que M soit le milieu de [AB].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soient un cercle O et une corde [AB].

Les tangentes en A et B se coupent en T.

D'un point M du petit arc $\wideparen{\text{AB}}$ on abaisse les perpendiculaires [MC], [MD], [ME]
 respectivement sur (AB), (AT) et (BT).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles AMD et BMC sont semblables, ainsi que les triangles AMC et BME.
\item Démontrer la relation 
\begin{center} MC$^2 =$ MD $ \cdot $ME.\end{center}
\item On suppose

\begin{center} $R = 5$~cm,\quad $\widehat{\text{AOB}} = 90\degres$ \quad et \quad $\widehat{\text{AOM}} = 30\degres$\end{center}

Calculer MB, ME, MD et MC.
\end{enumerate}
\end{document}