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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Aix-en-Provence-- Marseille}}
\rfoot{\small{septembre 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Aix-en-Provence-- Marseille\footnote{Montpellier} septembre 1969}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les produits
\begin{center}$A(x) = (2x + 1)(x - 2)$ \quad et \quad $B(x) = (2x + 1)(2x - 3)$.\end{center}

\item En utilisant les résultats du 1. simplifier la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{2x^2 - 3x - 2}{ 4x^2 - 4x - 3}.\]

Vous indiquerez, en justifiant votre réponse, pour quelles valeurs de la variable $x$ la fraction $F(x)$ n'est pas définie.
\item On appelle $F'(x)$ la fraction simplifiée obtenue.

Chercher successivement pour quelles valeurs de $x$ :
	\begin{enumerate}
		\item les deux termes de la fraction $F'(x)$ sont tous deux positifs ;
		\item la fraction $F'(x)$ est égale à 1 ;
		\item la fraction $F'(x)$ est égale à $\sqrt 3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne un triangle ABC rectangle en A, dans lequel l'angle $\widehat{\text{C}}$ vaut $30\degres$.

On donne BC $= 2a$. On trace le cercle de diamètre [AC].

On désigne par O son centre et par D son deuxième point d'intersection avec (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB et AC en fonction de $a$.
\item Démontrer que les triangles ADC et ADB sont rectangles en D.

Calculer BD et DC.
\item De O, l'on mène la perpendiculaire à (BC).

Elle coupe le petit arc $\wideparen{\text{DC}}$ du cercle (O) en E.

Que représente [AE] dans le triangle DAC ?

Calculer AE et EC.
\end{enumerate}
\end{document}