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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix--Marseille septembre 1972~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne les deux polynômes suivants : 
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (2x - 1)^2 - (x- 3)^2 \:\text{et}\\ 
B(x) &=& (3x - 4)^2 - (3x - 4)(x - 1).
\end{array}\]

Réduire et ordonner chacun d'eux suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Factoriser $A(x)$ et $B(x)$.
\item Soit la fraction rationnelle $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Préciser le domaine de définition, puis simplifier cette fraction en indiquant dans quelles conditions cette simplification est possible.
\item Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $F(x) = - 10$ ? 
\item On donne les deux fonctions $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$,
définies par
\begin{center}$f(x) = y_1 = x + 2$\quad  et\quad  $g(x) = y_2 = 2x - 3$.\end{center}

Étudier leurs variations et les représenter graphiquement dans un même repère orthonormé.

Peut-on utiliser le graphique pour résoudre l'équation $F(x) = 1$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Un triangle quelconque (ABC) dont les trois angles sont aigus est inscrit dans un cercle de centre O.

On appelle respectivement A$'$, B$'$ et C$'$ les pieds des hauteurs sur les côtés [BC], [CA] et [AB] et l'on désigne l'orthocentre par H.

(B$'$C$'$) coupe le cercle en U et V, le point U étant sur le
petit arc $\widearc{\text{AB}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{AB}'\text{C}'}$ et l'angle aigu formé par (AC) et la tangente en A au cercle.

Démontrer que celle-ci est parallèle à (B$'$C$'$), que (OA) est perpendiculaire à (B$'$C$'$) et que le triangle (AUV) est isocèle.
\item Démontrer que les triangles (AUB) et (AUC$'$) sont semblables.

En déduire les relations suivantes:

\begin{center} AU$^2 =$ AV$^2 =$ AB $\cdot$ AC$'$ = AB$'$ $\cdot$ AC.\end{center}
\item Soit P le point commun à (B$'$C$'$) et à (BC) ; la droite (AP) recoupe le cercle en K.

Démontrer que les quatre points B, C, B$'$ et C$'$ appartiennent à un même cercle et que les cinq points H, A, K, B$'$ et C$'$ appartiennent à un autre cercle, dont on précisera le centre.
\end{enumerate}
\end{document}