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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix--Marseille septembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne le nombre réel $r = \dfrac{\sqrt 3 + 1}{2,5} - \dfrac{0,4}{\sqrt 3 - 1}$.

Exprimer $r$ sous forme de quotient dont le diviseur soit un entier naturel.
\item Sachant que $1,73 < \sqrt 3  < 1,74$, donner les valeurs approchées de $r$, par défaut et par excès, à 0,01 près (ou un encadrement de $r$ d'écart ou amplitude $0,01$).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les polynômes :
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=& 16(x - 3)^2 - 36(x - 5)^2, \: \text{et}\\
g(x)&=& (9 - x)(x + 3) + 27 - 3x - (9 - x)^2.
\end{array}\]
\item Soit $q(x)$ la fraction rationnelle définie par $q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Quel est son domaine de définition, $\mathcal{D}$ ?
\item On appelle $q'$ l'application de $\mathcal{D}$ dans $\R$ définie par
$q'(x) = q(x)$.

Existe-t-il $x$, réel, tel que $q(x) = 10$ ? 

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un plan euclidien, rapporté à un repère orthonormé \Oij, on donne les points
\begin{center}A(+2~;~+3) \quad et \quad B(6,5~;~0).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point C tel que (O, A, B, C) soit un parallélogramme.
\item Démontrer que les droites (OA) et (OC) sont orthogonales.
\item Démontrer que les quatre points O A, B et C sont ur un même cercle, dont on précisera les coordonnées du centre, I, et le rayon.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan euclidien, l'unité de distance étant le centimètre, on donne un triangle rectangle (ABC), dont l'hypoténuse est le segment [BC] et tel que
$d$(A, B) (ou AB) $= 5$ et 

$d$(A, C) (ou AC) $= 12$.

On désigne par H la projection orthogonale de A sur la droite (BC).

\emph{Il est recommandé aux candidats de représenter, dans le plan physique, le triangle en vraie grandeur, et d'y placer, au fur et à mesure, les divers renseignements donnés dans l'énoncé, mais cette représentation n'est pas obligatoire.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(B, C) (ou BC), $d$(B, H) (ou BH), $d$(C, H) (ou CH) et $d$(A, H) (ou AH).

Lorsque les nombres obtenus seront des rationnels, on donnera leurs valeurs approchées par défaut ou par à 0,01près (ou un encadrement d'écart ou d'amplitude 0,01).
\item Soit le point K du segment [BC] tel que $d$(C, K) (ou CK) $= 6$
et le point E du segment [AC] tel que $d$(C, E) (ou CE) $= 6,5$.

Démontrer que les droites (EK) et (AH) sont parallèles.

Calculer ensuite $d$(E, K) (ou EK).
\item Déterminer, au choix, le sinus, le cosinus ou la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique
$\widehat{\text{AKH}}$ et calculer cet écart angulaire à $1\degres$ près par défaut et par excès, à l'aide des tables trigonométriques.
\end{enumerate}
\end{document}