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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Aix-en-Provence}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-en-Provence septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

{\emph{Tous les exercices proposés sont obligatoires.\\
Les candidats les traiteront dans l'ordre de leur choix}.}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 1}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ telles que

\[f : x \longmapsto - x + \dfrac12\quad  \text{et}\quad g : x \longmapsto 2x - 1.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $g \circ f$.
\item Calculer $f(3)\:;\:g\left(- \dfrac52\right)\: ;\:(g \circ  f)(3)$.
\item Résoudre, dans $\Q$, $(g \circ f) (x) = \dfrac23$. ($\Q$ est l'ensemble des nombres rationnels).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2}

\medskip

On considère l'application $a$, de $\R$ dans $\R$, donnée par 
\[a : x\longmapsto  a(x) = (5x + 1)^2 - (x-2)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner a(x).
\item Factoriser a(x) .
\item On considère la fonction rationnelle, de $\R$ dans $\R$, donnée par
\[r(x) = \dfrac{ a(x)}{3x(4x + 3)}\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition de $r$ ?
		\item Simplifier $r(x)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre, par le calcul, dans $\R$,
	\begin{enumerate}
		\item $r(x) = 0$,
		\item $r(x) = \sqrt 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 3}

\medskip

Dans le plan $P$ rapporté à un repère orthonormé \Oij, on donne
\[\vect{\text{OA}} = - 5\vect{\imath} + \vect{\jmath},\quad  \vect{\text{OB}} =  3\vect{\jmath},\quad \vect{\text{OC}} = - 3\vect{\imath} - 4\vect{\jmath},.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\left\|\vect{\text{AB}}\right\|, \: \left\|\vect{\text{AC}}\right\|$ et $\left\|\vect{\text{BC}}\right\|$.
\item En déduire la nature du triangle (ABC).
\item Calculer les coordonnées du milieu I de [BC].
\item Calculer les coordonnées du point D, symétrique de A par rapport à I.
\item Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, D, C) ?
\item Montrer que le cercle $(\mathcal{C})$ passant par A, C et D passe aussi par B.

Préciser le centre et le rayon de $(\mathcal{C})$.
\item Calculer $\cos \alpha$ de l'écart angulaire $\alpha$ de l'angle géométrique $\widehat{\text{BCA}}$.
\end{enumerate}
\end{document}