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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1986}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Aix--Marseille septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice I.}

\medskip

Dans cet exercice, les trois questions sont indépendantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne

\[S = 3\sqrt 2  + 5 \sqrt 3 - 7\sqrt 8 -4\sqrt{12}  + \sqrt {8} - \sqrt{27}.\]

Montrer que $S$ peut s'écrire sous la forme $S = a\sqrt 2 + b\sqrt 3$
où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs que l'on déterminera.
\item Sachant que 

\[2,645< \sqrt 7 < 2,646 \quad \text{et que}\quad 3,872< \sqrt{15} < 3,873,\]

en déduire un encadrement de $2\sqrt 7 + 3\sqrt{15}$ et un encadrement de $2\sqrt 7 - 3\sqrt{15}$.
\item Calculer $\left(\sqrt 7 - 11\right)^2$.

Montrer que $\sqrt{128} - 22\sqrt 7$ peut 'écrire avec un seul radical.

Montrer que

\[\sqrt{128 +22\sqrt 7} + \sqrt{128 - 22\sqrt 7} \]

est un entier naturel.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $\Delta$ et $\Delta'$ deux droites perpendiculaires en O. Soit A
un point n'appartenant ni à $\Delta$, ni à $\Delta'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point A$'$ symétrique de A par rapport à la droite $\Delta$ puis le point A$''$ symétrique de A$'$ par rapport à la droite $\Delta'$.
\item On appelle I le milieu du segment [AA$'$] et J le milieu du segment [A$'$A$''$).

Montrer que le quadrilatère A$'$IOJ est un rectangle.
\item On appelle K le centre du rectangle A$'$IOJ.

Montrer que $\vect{\text{OA}} = 2\vect{\text{KI}}$.

Comparer les vecteurs $\vect{\text{OA}''}$ et $\vect{\text{KI}}$.

En déduire que A et A$'$ sont symétriques par rapport à O.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer, dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, les points A, B, C donnés par leurs coordonnées

\begin{center}A$(-1~;~ 5)$,\quad B$(-3~;~1)$,\quad C$(-5~;~2)$.\end{center}

Calculer les distances AC, AB et BC.

En déduire la nature du triangle ABC.
\item Tracer le cercle $(C)$ circonscrit au triangle ABC.

Préciser les coordonnées de son centre K ainsi que son rayon.
\item Soit $x$ un réel, différent de $-5$, et M le point de coordonnées $(x~;~2)$. 

Calculer $x$ pour que M appartienne à $(C)$.

Démontrer que pour le point M ainsi trouvé, la droite (BK) est la médiatrice du segment [CM].
\end{enumerate}
\end{document}