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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Aix--Marseille juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I.}

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par 

\[f(x) = x^3 - x^2\sqrt{3} + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ ; $f\left(\sqrt{2}\right)$ ; $f\left(\sqrt{3}\right)$ .
\item Peut-on déduire des résultats précédents que $f$ n'est pas une bijection ? 
\item Sachant que $1,414 < \sqrt{2}< 1,415$ et $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$,  successivement encadrer $3\sqrt{3}$, puis $- 3\sqrt{2}$ à 0,01  près ; enfin encadrer $f\left(\sqrt{3}\right)$ à 0,1 près 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.} Soit les fonctions rationnelles $f$ et $g$ données dans $\R$ par

\[f(x) = \dfrac{x^2 - 3x}{x^2 - 6x + 9} \qquad \text{et}\qquad g(x)=~ \dfrac{x^2 + 3x}{x^2 - 9}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer chacun des ensembles de définition de $f$ et de $g$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous une forme plus simple.
\item Du résultat précédent, peut-on déduire que $f$ et $g$ sont égales? Pourquoi ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III.} \emph{Les candidats dessineront une figure soignée. Unité de distance : $1$}~cm . 

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{}  on considère les points
A et B définis par leurs coordonnées : A(3~;~1) et B$(- 3~;~9)$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points A$'$ et B$'$ tels que :
		
\[\vect{\text{OA}'}= - \dfrac{1}{2}\vect{\text{OA}}\quad  \text{et}\quad  \vect{\text{OB}'}= - \dfrac{1}{2}\vect{\text{OB}}.\]

et calculer leurs coordonnées.
		\item Calculer les coordonnées des points I et I$'$ milieux respectifs des segments [AB] et [A$'$B$'$] et en déduire que les points O, I, I$'$ sont alignés.
		\item Démontrer que les droites (AB) et (A$'$B$'$) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $d$(O, A), $d$(O, B), $d$(A, B) et en déduire la nature du triangle (OAB).
		\item $\alpha$ étant l'écart angulaire, en degré, de l'angle $\widehat{\text{OBA}}$, calculer $\cos \alpha$.
		\item Donner la valeur approchée par défaut à un degré près de $\alpha$, sachant que:
		
		\[3,162 < \sqrt{10} < 3,163.\]

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ en degrés&17& 18& 19& 20\\ \hline
$\cos x$&\np{0,9563} &\np{0,9511} &\np{0,9455}&\np{0,9397}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}