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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Aix--Marseille}
\lfoot{\small juin 1995}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Aix--Marseille\footnote{Montpellier, Nice--Corse, Toulouse} juin 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $P = (x - 2)(2x + 1) - (2x + 1)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $P$.
\item Factoriser $P$.
\item Résoudre l'équation $(2x + 1)(x + 3) = 0$.
\item Pour $x = - \dfrac37$ écrire la valeur de $P$ sous forme fractionnaire.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f$ et $g$ sont deux applications affines définies par :

\[f(x) =2x + 2 \quad \text{et}\quad  g(x) = -3x +2.\]

Dans un repère orthonormal (O ; I ; J) que vous construirez sur votre copie, représenter graphiquement les applications $f$ et $g$ ; on choisira le centimètre pour unité.
\item On considère l'application affine $h$ telle que $h(0) = 2$ et $h(4) = 0$. 

Représenter graphiquement dans le repère (O ; I ; J) l'application $h$.
\item Placer dans le même repère les points A(4~;~0), B$(-1~;~0)$ et
C(0~;~2).
\item Calculer les longueurs AB, AC et BC. Conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Une boîte de chocolats a la forme d'une pyramide tronquée (figure ci- dessous).

\medskip

Le rectangle ABCD de centre H et le rectangle A$'$B$'$C$'$D$'$ de centre H$'$ sont dans des plans parallèles. On donne :
AB = 6 cm \quad BC = 18 cm\quad  HH$'$ = 8 cm\quad  SH = 24 cm

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,5.2)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,3.8)(4.2,3.8)(5.4,5.2)(1.4,5.2)%ADC?
\psline(1.08,2.6)(3.75,2.6)(4.52,3.5)%A'D'C'
\psline[linestyle=dashed](4.52,3.5)(1.86,3.5)(1.08,2.6)%C'B'A(
\psline(1.08,2.6)(0.2,3.8)%SA
\psline[linestyle=dashed](2.8,0.2)(1.08,2.6)%S
\psline[linestyle=dashed](2.8,0.2)(2.8,4.5)%SH
\psline[linestyle=dashed](2.8,0.2)(1.4,5.2)%Sà gauche
\psline(3.75,2.6)(4.2,3.8)%SD
\psline[linestyle=dashed](2.8,0.2)(3.75,2.6)(4.2,3.8)
\psline[linestyle=dashed](2.8,0.2)(4.52,3.5)(5.4,5.2)%à droite
\psline(4.52,3.5)(5.4,5.2)
\uput[l](0.2,3.8){A} \uput[ul](1.4,5.2){B} \uput[r](5.4,5.2){C}
\uput[ul](4.2,3.8){D} \uput[l](1.08,2.6){A$'$} \uput[l](1.86,3.5){B$'$}
\uput[r](4.52,3.5){C$'$} \uput[dr](3.75,2.6){D$'$} \uput[u](2.8,4.5){H}
\uput[l](2.8,3.05){H$'$} \uput[d](2.8,0.2){S}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=0.2](2.8,3.05)(2.8,4.5)
\end{pspicture}

\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume $V_1$ de la pyramide SABCD de hauteur SH.
\item Quel est le coefficient $k$ de la réduction qui permet de passer de la pyramide SABCD à la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ de hauteur SH$'$ ?
\item En déduire le volume $V_2$ de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ puis le volume $V_3$ de la boîte de chocolats ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On a reproduit plusieurs fois une figure à l'intérieur du carré HGKE dont [EG] est une diagonale.

\psset{unit=5mm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(18,18)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt]
\def\bateau{\pspolygon(0,0)(3,0)(2,3)\psarc(2,0){2}{180}{270}\psline(2,-2)(3,0)}
\psline[linestyle=dashed](18,18)
\rput(0,5){\bateau}\rput{180}(15,16){\bateau}%\rput{120}(12,9){\bateau}
\rput{-180}(10,15){\bateau}
\pspolygon(12,8)(15,7)(15,10)\psline(15,7)(17,8)\psarc(15,8){2}{0}{90}
\uput[dl](0,0){E} \uput[dr](18,0){K} \uput[ur](18,18){G}
\uput[ul](0,18){H} \uput[ul](2,8){D} \uput[dr](5,10){F}
\uput[dr](8,12){A} \uput[dr](13,13){C} \uput[ul](12,8){B} \psdots(5,10)
\rput(1.5,5.5){fig. 4}\rput(8.5,14.5){fig. 1}\rput(13.5,16.5){fig. 3}\rput(16,8.5){fig. 2}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter les phrases suivantes en utilisant les numéros des figures et les points déjà nommés :

La figure ... est l'image de la figure 1 par la symétrie de centre ...

La figure ... est l'image de la figure 1 par la translation de vecteur ...

La figure 2 est l'image de la figure 1 par la ...
\item Tracer l'image de la figure 1 par la rotation de centre A, d'angle $90\degres$ dans le sens des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

On considère un rectangle ABCD.

G est un point du segment [AB] et E est un point de la demi-droite [Dy). Les longueurs DE et BG sont égales.

La droite (EG) coupe le segment [DC] en un point F.

Les dimensions du rectangle ABCD sont les suivantes :

AD $= 12$ cm ; AB $= 8$ cm.

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,5)
\psframe(0.2,0.2)(6.2,4.2)%BFDA
\psline(0.2,4.2)(8.7,4.2)%ADEy
\psline(0.2,1.7)(7.7,4.2)%GFE
\uput[ul](0.2,4.2){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](6.2,0.2){C} \uput[u](6.2,4.2){D}
\uput[u](7.7,4.2){E} \uput[dr](6.2,3.7){F} \uput[l](0.2,1.7){G} \uput[u](9,4.2){$y$}
\psdots(6.95,4.2)(0.2,0.95)
\end{pspicture}
\end{center}


\textbf{I - Partie A} 

\medskip

On donne GB $= 3$ cm et DE $= 3$ cm.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer DF.
\item Calculer EG. Donner la réponse exacte sous la forme $a\sqrt{10}$ où $a$ est un nombre entier.
\item Calculer la valeur exacte de EF.
\item Déduire des résultats précédents la valeur exacte de FG.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II - Partie B} 

\medskip

On désigne maintenant par $x$ chacune des deux longueurs égales BG et DE : BG = DE $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $x$ les longueurs AE et AG. 
\item  Montrer que EG$^2 = 2x^2 +8x + 208$.
\item Utiliser le résultat de la question II. 2. précédente pour montrer
que lorsque $x = 3$ alors EG $= 5\sqrt{10}$.
\item Utiliser le résultat de la question II. 2précédente pour montrer
que si $x = 0$, alors 

EG $= 4\sqrt{13}$.

Calculer la longueur BD et conclure.
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on AE $= 7$ AG ? 

Calculer alors l'aire du triangle AEG.
\end{enumerate}
\end{document}