\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Amiens septembre 1996},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Aix-Marseille }
\lfoot{\small juin 1996}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Aix-Marseille\footnote{Corse, Montpellier, Nice,Toulouse} juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c l}
3x - 7y &=& 18,8\\
\phantom{3}x -5y &=&10
\end{array}\right.$
\item Résoudre l'inéquation $4x - 5 \leqslant 10 x + 1$. 

Représenter en couleur les solutions sur une droite graduée.
\item Le nombre 4 vérifie-t-il l'équation $x^2 - 5 x = 4$ ? 

Indiquer les calculs. On ne cherchera pas à résoudre cette équation.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\np{162800} voitures neuves ont été vendues en France pendant le mois d'octobre 1995. 

Le diagramme circulaire ci-dessous donne la répartition des ventes entre les diverses marques d'automobiles.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-4.2)(5.5,4.2)
\pscircle(0,0){2.8}
\pswedge[fillstyle=hlines](0,0){2.8}{90}{235.8}
\pswedge[fillstyle=vlines](0,0){2.8}{235.8}{323}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){2.8}{323}{393.2}
\rput(4.3;162){Marques}\rput(4.2;172){étrangères}
\rput(3.3;279){Renault}\rput(3.9;279){\np{43956}}
\rput(4;358){Peugeot}\rput(4;348){\np{31746}}
\rput(4;62){Citroën}\rput(3.4;60){\np{21164}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de voitures de marques étrangères ont-elles été vendues pendant le mois d'octobre 1995 ?
\item Quel est, par rapport à la totalité des voitures vendues, le pourcentage des voitures de marque Renault ?
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ correspondant sur le diagramme aux voitures de marque Peugeot.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère le cylindre, la demi-boule et le cône représentés ci-dessous :

%fig cylindre, demi-boule, cône

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Vérifier au moyen d'un calcul que le volume $V_1$ du cylindre, exprimé en cm$^3$, est égal à $216 \pi$ et que le volume $V_2$ de la demi-boule, exprimé en cm$^3$, est égal à $144 \pi$.
\item Calculer en cm$^3$ le volume $V_3$ du cône sous la forme $k \pi$ ($k$ étant un nombre entier).
\item On constate que $V_2 = 2V_3$.

En utilisant le formulaire donné ci-dessous, justifier ce résultat.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.6,0)(1.6,8)
\psellipse(0,6.5)(1.25,0.4)
\psline(-1.25,6.5)(-1.25,4.5)\psline(1.25,6.5)(1.25,4.5)
\psellipticarc(0,4.5)(1.25,0.4){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,4.5)(1.25,0.4){0}{180}
\psline(0,6.5)(0,4.5)\psframe(0,4.5)(-0.2,4.7)
\psline[linestyle=dashed](0,4.5)(-1.25,4.5)
\uput[d](-0.625,5.4){6 cm}\uput[r](0,5.95){6 cm}
%%%%%% demi-boule
\psarc(0,2.8){1.25}{0}{180}
\psellipticarc(0,2.8)(1.25,0.4){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,2.8)(1.25,0.4){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](0,2.8)(-1.25,2.8)\uput[d](-0.625,2.8){6 cm}
%%%%% cône
\psellipticarc(0,0.4)(1.25,0.4){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0.4)(1.25,0.4){0}{180}
\psline(-1.25,0.4)(0,2.1)(1.25,0.4)
\uput[d](-0.7,0.5){6 cm}\uput[r](0,1.25){6 cm}
\psline[linestyle=dashed](-1.25,0.4)(0,0.4)(0,2.1)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{center}\textbf{FORMULAIRE :}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X|X}
Volume du cylindre :&Volume de la boule :&Volume du cône :\\
$B \times h$, \, 
$B$ étant l'aire du disque de base,
$h$ étant la hauteur du cylindre.&  $\dfrac43 \times \pi \times r^3$, \,
$r$ étant le rayon de la boule.&
 $\dfrac13 \times B \times h$, \, \, 
$B$ étant l'aire du disque de base, $h$ étant la hauteur du cône.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur la figure ci-dessous (qui n'est pas en vraie grandeur) les droites (AB) et (CD) sont parallèles et les dimensions sont les suivantes :

\begin{center}OA $= 5$ cm \,;\quad AC = AB $= 4$ cm \,;\quad OD $= 6,3$ cm \,;\quad DE $= 5,04$ cm.\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4.5)
%\psgrid
\psline(8,0.2)(0.2,0.2)(4.3,4.2)%EOC
\psline(2.5,0.2)(2.23,2.2)%BA
\psline(4.4,0.2)(4,3.88)%DC
\uput[ul](2.23,2.2){A} \uput[dl](2.5,0.2){B} \uput[ul](4.,3.88){C}
\uput[dr](4.4,0.2){D} \uput[u](8,0.2){E} \uput[ul](0.2,0.2){O}
\psline(8,0.1)(8,0.3)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer GB et CD.
\item Les droites (AD) et (CE) sont-elles parallèles? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). 

On considère les points A(6~;~5), B$(2~;~- 3)$ et C$(- 4~;~0)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure sur la feuille de copie en prenant le centimètre comme unité sur chaque axe. 

Le point O, origine du repère, sera placé sur une ligne au centre de la feuille de copie.
\item Calculer les distances AB, BC et CA ; donner les résultats sous la
forme $a\sqrt 5$ où $a$ est un nombre entier positif.
\item En déduire la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.
\item Calculer l'aire du triangle ABC.
\item Calculer le périmètre du triangle ABC ; donner le résultat sous la forme
$a\sqrt 5$, puis la valeur arrondie au dixième de ce résultat.
\item  On considère le cercle circonscrit au triangle ABC.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la position de son centre E en justifiant la réponse. 
		
Calculer les coordonnées de ce point.
		\item Déterminer la valeur exacte du rayon de ce cercle.
	\end{enumerate}	
\item Calculer la valeur exacte de $\tan \widehat{\text{ACB}}$ puis une valeur approchée 
au degré près de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
\item  Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{CA}}$.

En déduire les coordonnées du point D tel que ACBD soit un parallélogramme.
\end{enumerate}
\end{document}