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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 1999}
\rfoot{\small Groupe Sud}
\lfoot{\small juin 1999}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet  Groupe Sud \footnote{Toulouse, Montpellier, Aix--Marseille, Nice--Corse} juin 1999 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne $A = \dfrac{13}7-\dfrac27\times\dfrac{15}{12}$.

Calculer $A$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction.
\item On donne $B = 7\sqrt{75} - 5\sqrt{27} + 4\sqrt{48}$.

Écrire $B$ sous la forme $b\sqrt3$, où $b$ est un nombre entier.
\item On donne

\[C = \dfrac{0,23\times 10^3 - 1,7 \times  10^2}{0,5\times 10^{-1}}.\]

Calculer $C$ et donner l'écriture scientifique du résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $E = (2x - 1)^2 - (2x - 1) (x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 1) (x + 2) = 0$.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Résoudre par la méthode de votre choix le système 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x-y&=&8\\
7x+5y&=&104\\
\end{array}\right.\]

\item Une rose coûte 8 francs de plus qu'une marguerite. Un bouquet de
7 roses et 5 marguerites coûte $104$~F. 

Quel est le prix d'une rose ? Quel est le prix d'une marguerite ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(15.5,11.5)
%\psgrid
\psline(6,0)(6,11.5)%EAG
\psline(0,14)(14.5,0)%DC
\psline(2,3.7)(15,5)%FB
\psline(2,1.5)(15,2.8)%GC
\uput[ur](6,8.2){A} \uput[d](9.87,4.48){B} \uput[d](11.92,2.5){C} \uput[ur](3.8,10.34){D} 
\uput[r](6,10.8){E} \uput[dr](6,4.1){F} \uput[dr](6,1.9){G} 
\psdots(6,8.2)(9.85,4.48)(11.92,2.5)(3.8,10.34)(6,10.8)(6,4.1)(6,1.9)
\end{pspicture*}
\end{center}
\medskip

Sur la figure ci-dessus, qui n'est pas dessinée en vraie grandeur, les droites (BF) et (CG) sont parallèles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne: AB $= 5$ ; BC $= 4$ et AF $= 3$.

Calculer AG puis FG.
\item On donne AD $= 7$ et AE $= 4,2$.

Démontrer que les droites (ED) et (BF) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité est le centimètre.

SABCD est une pyramide de sommet S ayant pour base le rectangle
$ABCD$.\par Les faces latérales SAB, SAO et SDC sont des
triangles rectangles.

On donne AD = AS $ = 3$ et SB $ = 7$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9,5.8)
%\psgrid
\psline(0,0)(2.3,5.2)(8.4,1.9)(6,0)(2.3,5.2)(0,0)(6,0)%DSBCSCA
\uput[dr](2.3,1.9){A} \uput[r](8.4,1.9){B} \uput[dr](6,0){C} \uput[dl](0,0){D} \uput[u](2.3,5.2){S} 
\psline[linestyle=dashed](8.4,1.9)(2.3,1.9)(2.3,5.2)%BAS
\psline[linestyle=dashed](2.3,1.9)(0,0)%AD
\psframe(2.3,1.9)(2.55,2.15)\psline(2.3,2.15)(2.15,2)(2.15,1.82)
\psline(0.1,0.2)(0.3,0.2)(0.21,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le patron de cette pyramide a été commencé. Il manque la face
SBC. La construire.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8.5,9.2)
\psframe(2.7,6.4)(8.4,3.8)
\psline(8.4,6.4)(2.7,9.2)(2.7,6.4)%haut
\psline(2.7,6.4)(0,6.4)(2.7,3.8)%gauche
\psline(2.7,3.8)(2.7,0)(8.4,3.8)%bas
\uput[ul](2.7,6.4){A} \uput[ur](8.4,6.4){B} \uput[dr](8.4,3.8){C} \uput[dl](2.7,3.8){D}
\psframe(2.7,6.4)(2.95,6.65)  \psframe(2.7,6.4)(2.45,6.15) \psframe(2.7,6.4)(2.95,6.15) \psframe(8.4,6.4)(8.15,6.15) \psframe(2.7,3.8)(2.95,3.55) \psframe(8.4,3.8)(8.15,3.95) \psframe(2.7,3.8)(2.95,4.05) 
\uput[l](2.7,7.8){3}\uput[d](1.35,6.4){3}\uput[r](2.7,5.1){3}\uput[u](5.55,7.8){7}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Montrer que SD $ = 3\sqrt2$.
\item Sachant que SC $ = \sqrt{58}$, prouver que le triangle SBC est
rectangle en B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Trois artisans, Arthur, Bernard et Charles, fabriquent chaque mois le même nombre de jouets.

Leur salaire mensuel est calculé de la façon suivante :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Arthur a un salaire fixe de \np{9000} F.
\item[$\bullet~~$] Bernard a un salaire de \np{3000} F augmenté d'une prime de $50$ F par jouet qu'il a fabriqué.
\item[$\bullet~~$] Charles a un salaire de \np{4000} F augmenté d'une prime de $40$ F par jouet qu'il a fabriqué.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant représentant le salaire de chacun des artisans lorsque ceux-ci ont fabriqué:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]130 jouets pendant un mois;
\item[$\bullet~~$]100 jouets pendant un mois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Salaire d'Arthur&Salaire de Bernard&Salaire de Charles\\ \hline
130jouets &&&\\ \hline
100jouets &&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $x$ le nombre de jouets fabriqués pendant un mois.

Exprimer en fonction de $x$ les salaires respectifs d'Arthur, Bernard et Charles. Les salaires seront notés respectivement $y_{\text{A}}, \, y_{\text{B}}$ et $y_{\text{C}}$. 
\item On se place dans un repère orthogonal et on prend les unités suivantes :
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]sur l'axe des abscisses 1 cm représente 10 unités;
\item[$\bullet~~$]sur l'axe des ordonnées 1 cm représente 500 unités.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{Prendre l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille.}

Construire dans ce repère les droites $D_1$,\, $D_2$ et $D_3$ d'équations: 

$D_1 :\, y = \np{9000}$

$D_2 :\, y = 50x + \np{3000}$

$D_3 :\, y = 40x + \np{4000}$
\item A l'aide du graphique précédemment obtenu, répondre aux questions suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item À partir de combien de jouets fabriqués en un mois peut-on dire que Bernard aura un salaire supérieur ou égal à celui de Charles ? 
		\item À partir de combien de jouets fabriqués en un mois peut-on dire que Bernard aura un salaire supérieur ou égal à celui de Charles et à celui d'Arthur ? 
		\item Les trois artisans pourront-ils toucher le même salaire mensuel ?
Expliquer la réponse.
	\end{enumerate}
\item À partir du 1\up{er} janvier 2002, les salaires seront versés en euros.

Sachant que 1 euro vaut environ $6,56$ F{}, calculer le salaire en euros de chacun des trois artisans lorsqu'ils auront fabriqué chacun $100$ jouets.

On donnera, pour chaque salaire, la valeur arrondie à 1 euro près.
\end{enumerate}

\end{document}