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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Alger juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Une auto fait un voyage aller et retour, sans arrêt, entre deux villes A et B. 

À l'aller (sens de A vers B) elle dépasse un cycliste au milieu du parcours [AB] ; au retour
 elle le croise au quart du parcours à partir de B.

Les vitesses des deux mobiles sont constantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $x$ km représente la distance des deux points de rencontre, exprimer en fonction de $x$ les distances parcourues par les mobiles dans l'intervalle de temps des deux rencontres.

En déduire le rapport des vitesses.
\item La vitesse du cycliste est $20$~km/heure.

Le temps écoulé entre les deux rencontres est 1~h~30 min.

Calculer la distance AB.

Préciser la position du cycliste au moment du départ de l'auto.
\item Représenter sur un même graphique la marche de l'auto et celle du cycliste.

Coordonnées des points de rencontre.

Équation de la droite qui représente la marche du cycliste.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soit P un point quelconque d'un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$, de centre O.

Un cercle de centre A et de rayon AP coupe [AB] et son prolongement aux points M et N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (BP) est tangente au cercle A.

Dans le cas particulier où AP $= R$, calculer le périmètre du triangle POB.
\item Si G est le centre de gravité du triangle MPN, G$'$ celui du triangle APB, démontrer que [GG$'$] conserve une longueur et une direction constantes lorsque P varie.
\item La parallèle à (PO) menée par G coupe (AB) en E.

Démontrer que E est un point fixe.

Calculer EG.

En déduire le lieu géométrique du point G lorsque P décrit le demi-cercle de diamètre [AB].

Préciser les positions limites de G.
\end{enumerate}
\end{document}