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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Alger}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Alger juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soient $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ deux axes de coordonnées rectangulaires (l'unité de longueur étant la même sur les deux axes).

On construit le point A de coordonnées $(- 3~;~0)$ et le point I de coordonnées (0~;~2) puis on prolonge [AI] d'une longueur IH = AI.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point H et écrire l'équation de la droite (AI)
\item Construire la droite $D$ d'équation

\[y = - \dfrac32 x + \dfrac{17}{2}.\]

Montrer qu'elle passe par H et déterminer les coordonnées du point B, intersection de $D$ avec l'axe $y'y$.
\item Calculer la longueur des côtés du triangle ABH et montrer
qu'il est rectangle en H.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit [BC] un diamètre d'un cercle de centre O, de rayon $R$.

On marque sur ce cercle le point D tel que $\widearc{\text{CD}} = 60\degres$.

La perpendiculaire (DI) à (BC) recoupe le cercle en E.

Les droites (BD) et (EC) se coupent en A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que [DO) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BDE}}$, que les droites (DO) et (AC) sont parallèles et que D est le milieu de [AB].
\item Calculer en fonction de $R$ les longueurs AB et AC.
\item Construire le cercle circonscrit au triangle ABC ; on désignera par O$'$ son centre.

De quels polygones réguliers inscrits dans le cercle de centre O$'$ les côtés du triangle ABC sont-ils les côtés ?

Calculer le rayon du cercle de centre O$'$ en fonction de $R$.
\item Calculer en onction de $R$ l'aire de la portion de
disque de centre O extérieure au cercle de centre O$'$.
\end{enumerate}
\end{document}