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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Alger juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Trouver trois nombres, $x,\: y,\: z$, respectivement proportionnels aux nombres 2,\: 3\: et 5 et dont la somme est $100$.
\item Le deuxième nombre, $y$, est lié au premier par la
relation $y = ax - 10$.

Calculer $.$
\item $a$ ayant la valeur précédente, construire, sur un même système d'axes de coordonnées rectangulaires les droites définies par les équations

\begin{center}$y = ax-10$\qquad  et \qquad $y = - \dfrac x2$.\end{center}
\item Coordonnées de leur point d'intersection, P.
\item Montrer que le triangle formé par ces deux droites et l'axe des abscisses est rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Sur deux droites perpendiculaires en O on porte sur la première, de part et d'autre de O, les longueurs
OA $= a\sqrt 3$ et OB $= 2a\sqrt 3$ et sur la deuxième, de part et d'autre de O, les longueurs OC $= a$ et  OD $= 6a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère ACBD est inscriptible dans un cercle.

En construire le centre.
\item Calculer le périmètre et l'aire du quadrilatère ABCD.
\item Si $x$ désigne la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCD}}$, calculer en fonction
de $x$ les angles du quadrilatère ABCD.
\item Démontrer que la hauteur [OH] du triangle COA
passe par le milieu, M, du côté [BD].
\end{enumerate}
\end{document}