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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Alger}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Alger}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne la fonction $y$ de la variable $x$ :
\[y= m x - 2m + 3,\]

dans laquelle $m$ est un nombre donné.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne à $m$ les valeurs successives 
\[m = - \dfrac12,\quad m = 0,\quad m = 2.\]

Représenter les trois fonctions ainsi obtenues sur un même graphique.

Soient $D_1$,\: $D_2$, \:$D_3$ les droites représentatives.
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection A de $D_1$ et  $D_2$.

Préciser la position de ce point par rapport à $D_2$.

Justifier votre réponse.
\item Les droites $D_1$ et  $D_2$ coupent l'axe des $y$ respectivement en B et C.

Quelle est la nature du triangle ABC ?

Calculer les coordonnées du centre I du cercle circonscrit à ce triangle et la longueur du rayon.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle isocèle ABC dont l'angle au sommet $\widehat{\text{A}}$ est aigu et soit O le centre du cercle circonscrit au triangle.

La hauteur issue de A rencontre (BC) en H et le cercle circonscrit en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir la relation 4 AH X HD = BC2.
\item On pose BC $= 2a$, AH $= h$.

Calculer en fonction de $a$ et $h$ les longueurs HD, AD et  OH, ainsi que OT et AT, le point T étant l'intersection de §AH) avec la tangente au cercle au point B.
\item Trouver la relation qui lie $h$ et $a$ si le point H est au milieu de [OD].

Que dire alors du triangle ABC ?
\end{enumerate}

\end{document}