\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Alger juin 1957},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small Alger}
\lfoot{\small juin 1957}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Alger juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Les dimensions d'un rectangle sont mesurées, en mètres , par les nombres $x$ et $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si l'on augmente $x$ de 3 m et $y$ de 4 m, quelle est, en fonction de $x$ et $y$, l'augmentation de l'aire du rectangle ?
\item On suppose que $x$ et $y$ varient de manière que cette augmentation reste constante et égale à $36$~m$^2$.

Le nombre $y$ est alors une fonction du nombre $x$.

Représenter graphiquement cette fonction.
\item L'augmentation de l'aire du rectangle étant toujours égale à $36$~m$^2$, calculer $x$ et $y$ de manière que ces nombres $x$ et $y$ soient proportionnels aux nombres $\dfrac34$ et $\dfrac53$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un triangle isocèle ABC, qui a pour base [BC].

H étant le milieu de [BC], on suppose HA $>$ HB.

On prend sur le segment [BH] un point O et l'on trace le cercle qui a pour centre O et qui passe par B. Ce cercle recoupe le côté [AB] en M et la droite (BC) en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les quatre points O, M, A, C sont situés sur un mème cercle.

Montrer qu'il en est de même des quatre points D, H, M et A.

Quelle relation a-t-on entre BM, BO, BA et BC ?
\item On donne BC = 24~cm,\: AH $= 16$~cm et l'on suppose que le point O divise le segment [BC] dans le rapport $\dfrac57$.

Calculer AD, OB et OC.

Calculer BM, puis DM.

Calculer la longueur de la hauteur du triangle ABC issue de C.
\end{enumerate}
\end{document}