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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1959}
\rfoot{\small Alger}
\lfoot{\small juin 1959}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Alger juin 1959 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter sur un même graphique les deux fonctions suivantes de la variable $x$ :
\begin{center}
$y_1 = 3x + 4$,\qquad  $y_2 = 7x - 4$.\end{center}

Déterminer les coordonnées du point commun aux courbes représentatives.
\item Résoudre l'équation
\[(1)\quad (2x + 5) (2x + 6) + (2x + 5) (x -2) = (2x + 5)(7x - 4).\]

après l'avoir écrite sous forme d'un produit de facteurs égal à zéro.
\item On désigne par $z$ la fraction qui a pour numérateur le premier membre de l'équation (1) et pour dénominateur le second membre.

Simplifier cette fraction et calculer la valeur de $x$ pour laquelle $z = 1$.

Vérifier (votre réponse) à l'aide du résultat de la question 1.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit [AB] un diamètre d'un cercle de centre O et de rayon $R$.

Un cercle de centre B coupe le cercle O en deux points C et D et coupe la droite (AB) en deux points I et J (I entre A et B).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le cercle de centre B est tangent en C et D aux droites (AC) et (AD).
\item Établir que I et J sont respectivement les centres des cercles inscrit et exinscrit au triangle ACD.
\item Démontrer la relation 
\begin{center}AD$^2 =$ AI $\cdot$ AJ\end{center}

et en déduire que 
\begin{center}AI $\cdot$ AJ = AH $\cdot$ AB\end{center} 

(le point H étant l'intersection de (AB) et (CD)).
\end{enumerate}
\end{document}