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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Alger}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Alger octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer de deux manières différentes en expliquant le calcul, l'expression
\[(2x + y - 4)^2- (x + y - 1)^2.\]
\item À l'aide d'un même système d'axes de coordonnées rectangulaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ résoudre graphiquement le système;
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + y - 4&=&0,\\
\phantom{2}x + y - 1 &=&0.
\end{array}\right.\]

Vérifier par le calcul les résultats donnés par le graphique.
\item La droite d'équation $2x + y - 4 = 0$ coupe les axes O$x$ et O$y$ en C et 0 et la droite $x + y - 1 = 0$ les coupe en B et A.

Calculer la longueurs des côtés et l'aire du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit [BC] un diamètre d'un cercle de centre O et de rayon $R$.

On marque sur ce cercle le point D tel que l'arc $\widearc{\text{BD}} = 120\degres$.

La perpendiculaire [DI] à (BC) coupe le cercle en E.

Les droites (BD) et (EC) se coupent en A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que [DO) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BOE}}$, que (DO) et (AC) sont parallèles et que D est le milieu de [AB].
\item Calculer en fonction de $R$ les longueurs BD, DC, OI, AB, AC.
\item Construire le cercle circonscrit au triangle ABC.

Préciser la position de son centre O$'$.

De quels polygones réguliers inscrits dans le cercle de centre O$'$ les côtés du triangle ABC sont-ils les côtés ?

Calculer le rayon et l'aire du disque de centre O$'$ en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}